|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Áp dụng BĐT Schur dạng sau:$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+ac+bc)$
Áp dụng BĐT Schur dạng sau:$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+ac+bc)$ Với $a+b+c=1$ thì $1+9abc\geq 4(ab+bc+ac)$$\Rightarrow 4(ab+bc+ac)-8abc\leq 1+abc\leq 1+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}$$\Rightarrow (ab+bc+ac)-2abc\leq \frac{7}{27}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Giả sử $a\geq b\geq c$ ta dễ dàng có $a,b,c<1$ Vậy $(1-a)(1-b)(1-c)>0\rightarrow ab+bc+ac>1+abc$Do đó ta có được:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\Rightarrow 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc $Với $a+b+c=2$ ta có:$27(a^2+b^2+c^2)+5aabc\geq 52$
Giả sử $a\geq b\geq c$ ta dễ dàng có $a,b,c<1$ Vậy $(1-a)(1-b)(1-c)>0\rightarrow ab+bc+ac>1+abc$Do đó ta có được:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\Rightarrow 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc $Với $a+b+c=2$ ta có:$27(a^2+b^2+c^2)+54abc\geq 52$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Phương trình vô tỉ
|
|
|
|
Phương trình vô tỉ 1) \frac{9}{x^{2}} + \frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}} - 1 = 02)x^{2} - 1 = 2x\sqrt{x^{2}-20}3)x^{2} + 4x = (x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4}4)(4x-1)\sqrt{x^{3}+1}=2x^{3} + 2x + 1
Phương trình vô tỉ 1) $\frac{9}{x^{2}} + \frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}} - 1 = 0 $2) $x^{2} - 1 = 2x\sqrt{x^{2}-20} $3) $x^{2} + 4x = (x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4} $4) $(4x-1)\sqrt{x^{3}+1}=2x^{3} + 2x + 1 $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cách nhanh nhất nhá!!!!!
|
|
|
|
Cách nhanh nhất nhá!!!!! x^4+ x^3 +x^2(y+1)+y(2x +y) -37 =0 và y+x^2 +x-7 =0
Cách nhanh nhất nhá!!!!! \begin{cases}x^4+x^3+x^2(y+1)+y(2x+y)-37=0 \\ x^2 +y+x-7=0 \end{cases}
|
|
|
|
sửa đổi
|
toán học
|
|
|
|
toán học Tìm GTNN của P=\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}]+5
toán học Tìm GTNN của P= $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}] $+5
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bài nhóm Abel
|
|
|
|
Bài nhóm Abel Cho $1\leq z\leq $min{x;y} ;$x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3};y\sqrt{3}+z\sqrt{10}\geq 2\sqrt{10}$.Tìm M in của:P=$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{3}{z^2}$
Bài nhóm Abel Cho $1\leq z\leq $min{x;y} ;$x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3};y\sqrt{3}+z\sqrt{10}\geq 2\sqrt{10}$.Tìm M ax của:P=$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{3}{z^2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hệ phương trình
|
|
|
|
Nhận xét rằng y=0 không là nghiệm nên ta viết lại hệ:\begin{cases}x+3y+\frac{7}{y}-8=\sqrt{3xy+6} \\ \sqrt{x+\frac{7}{y}+1}=5-\sqrt{3y+1} \end{cases}Tiếp đó đặt $a=\sqrt{x+1+\frac{7}{y}};b=\sqrt{3y+1}$Hệ sẽ trở thành:\begin{cases}a^2+b^2-10=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$\Leftrightarrow \begin{cases}(a+b)^2-2ab-10=\sqrt{a^2b^2+2ab-(a+b)^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$Từ đó ta quy về giải PT:$15-2ab=\sqrt{(ab)^2+2ab-39}$Với ĐK a,b không âm ta tìm được $ab=6$ kết hợp với $a+b=5$ thì có a=3,b=2 hoặc các hoán vị.Từ đó hệ có nghiệm: $(x;y)=(1;1) và (\frac{3}{8},\frac{8}{3})$
Nhận xét rằng y=0 không là nghiệm nên ta viết lại hệ:\begin{cases}x+3y+\frac{7}{y}-8=\sqrt{3xy+6} \\ \sqrt{x+\frac{7}{y}+1}=5-\sqrt{3y+1} \end{cases}Tiếp đó đặt $a=\sqrt{x+1+\frac{7}{y}};b=\sqrt{3y+1}$Hệ sẽ trở thành:\begin{cases}a^2+b^2-10=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$\Leftrightarrow \begin{cases}(a+b)^2-2ab-10=\sqrt{a^2b^2+2ab-(a+b)^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$Từ đó ta quy về giải PT:$15-2ab=\sqrt{(ab)^2+2ab-39}$Với ĐK a,b không âm ta tìm được $ab=6$ kết hợp với $a+b=5$ thì có a=3,b=2 và các hoán vị.Từ đó hệ có nghiệm: $(x;y)=(1;1) và (\frac{3}{8},\frac{8}{3})$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Đề thi thử đội tuyển Toán 1 (THPT Chuyên khối 11-12)
|
|
|
|
Câu bất này khá hay có ĐK $abc=1$ cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$Đặt $x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$Có $1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$.Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$.Thế thì $x+y+z\geq0$Bây giờ cần chỉ ra:$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$Nếu $xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.Nếu $xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$Do $\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.
Câu bất này khá hay có ĐK $abc=1$ cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$Đặt $x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$Có $1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$.Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$.Thế thì $x+y+z\geq0$Bây giờ cần chỉ ra:$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$Nếu $xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.Nếu $xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$Do $\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giúp tớ bài này với...!!!
|
|
|
|
Giúp tớ bài này với...!!! Cho a;b;c dương thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = \frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}} + \frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}} + \frac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}
Giúp tớ bài này với...!!! Cho a;b;c dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = $\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}} + \frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}} + \frac{c^3}{\sqrt{1+a^2}} $
|
|
|
|
sửa đổi
|
hộ với toàn hệ hay
|
|
|
|
Câu 1:\begin{cases}x^2+2y=x(4y-1) \\ (x^2+y)^2+3x^2(1-4y)=0 \end{cases}
Câu 1:\begin{cases}x^2+2y=x(4y-1) \\ (x^2+2y)^2+3x^2(1-4y)=0 \end{cases}
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hệ phương trình
|
|
|
|
câu 1 nha sử dụng denta ta sẽ tim đk : $1\leq y\leq \frac{7}{3}$ và $2\leq x\leq \frac{10}{3}$đặt f(t)=2t^{2}-3t+4 f(t)'= 4t-3 => $ t\geq\frac{3}{4}$ta có f(x).f(y)=18 từ đk trên ta có $f(x).f(y)\geq f(2).f(1)=18$mà x=2 y=1 ko phải là nghiêm của pt 2 nên pt vô ng
câu 1 nha sử dụng denta ta sẽ tim đk : $1\leq y\leq \frac{7}{3}$ và $2\leq x\leq \frac{10}{3}$đặt $f(t)=2t^{2}-3t+4$ f(t)'= 4t-3 => $ t\geq\frac{3}{4}$ta có f(x).f(y)=18 từ đk trên ta có $f(x).f(y)\geq f(2).f(1)=18$mà x=2 y=1 ko phải là nghiêm của pt 2 nên pt vô ng
|
|
|
|
sửa đổi
|
Tìm dư
|
|
|
|
Tìm dư Tìm dư khi chia A = a^{2n}+a^{n}+1 cho a^{2}+a+1 với mọi n\in N,a\in Z và a\neq 1
Tìm dư Tìm dư khi chia $A = a^{2n}+a^{n}+1 $ cho $a^{2}+a+1 $ với mọi $n\in N,a\in Z $ và $a\neq 1 $
|
|
|
|
sửa đổi
|
giai hpt sau
|
|
|
|
giai hpt sau x2 + y2 +xy + 1 = 4y ( x2 + 1)( y+ x- 2)=y
giai hpt sau \begin{cases}x^2+y^2+xy+1=4y \\ (x ^2+1)( x+ y-2)=y \end{cases}
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giải pt vô tỷ
|
|
|
|
Giải pt vô tỷ 1. \sqrt[3]{x^2 -1} + x = \sqrt{x^3 -2} 2. \sqrt{3x^2-5x+1} - \sqrt{x^2-2} = \sqrt{3(x^2 -x-1)} - \sqrt{x^2-3x+4}
Giải pt vô tỷ 1. $\sqrt[3]{x^2 -1} + x = \sqrt{x^3 -2} $ 2. $\sqrt{3x^2-5x+1} - \sqrt{x^2-2} = \sqrt{3(x^2 -x-1)} - \sqrt{x^2-3x+4} $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Tìm x
|
|
|
|
Tìm x Tìm x$2x^{4}+3x^{3}+8x^{2}+6x+5=0$$x^{4}-6x^{3}+27x^{2}-54x+32=0$
Tìm x Tìm x :$ 1.2x^{4}+3x^{3}+8x^{2}+6x+5=0$$ 2.x^{4}-6x^{3}+27x^{2}-54x+32=0$
|
|