Dùng BĐT cổ điển thuần túy nhưng ta sẽ đi chứng minh BĐT mạnh hơn sau:
2(a+b+c)2a2+b2+c2+12(a3+b3+c3abc−a2+b2+c2ab+bc+ac)≥7
(Trần Quốc Anh)
⇔8(ab+bc+ac)a2+b2+c2+a3+b3+c3abc−a2+b2+c2ab+bc+ac≥10
Lại có:
8(ab+bc+ac)a2+b2+c2≥16−8(a2+b2+c2)ab+bc+ac
Vậy nên ta chỉ cần chứng minh:
a3+b3+c3abc≥9(a2+b2+c2)ab+bc+ac−6⇔(a2+b2+c2−ab−bc−ac)[(a+b+c)(ab+bc+ac)−9abcabc(ab+bc+ac)]≥0
Mà hiển nhiên thì (a+b+c)(ab+bc+ac)≥9abc