|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Từ giả thiết bài toán ta có: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$ Ta đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$ thì ta có:$ab+bc+ac=1$ và a,b,c không âm
$P=\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{xy}+1}+...=\frac{c}{ab+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{bc+1}$ Có $\frac{c}{ab+1}+\frac{9c(ab+1)}{16}\geq \frac{3}{2}c$ Tương tự rồi cộng lại thì $P\geq\frac{15}{16}(a+b+c)-\frac{27}{16}abc=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Áp dụng trự tiếp AM-GM ta có: $\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{\prod(a^2+b^2)}{\prod(c^2+ab)}}$ Có $(c^2+b^2)(c^2+a^2)\geq (ab+c^2)^2$ Tương tự rồi nhân vào khai căn thì có $\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\geq 3$
Mà $\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq\frac{3}{2}$ Do đó có đpcm. |
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Từ GT ta có được: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\leq1$ Có $x^2+yz\geq 2x\sqrt{yz}\Rightarrow \frac{x}{x^2+yz}\leq \frac{1}{2\sqrt{yz}}$ Vậy $P\leq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}$ Đặt $\frac{1}{xy}=a,\frac{1}{yz}=b,\frac{1}{xz}=c\rightarrow a+b+c\leq 1$ Cần Tìm Max của $P=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3(a+b+c)}\leq 3$ Dấu = khi x=y=z=1 |
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Đặt $a+1=x,b+1=y,c+1=z$ Ta có $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 2$ $P=abc$. Có $\frac{1}{a+1}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{(b+1)(c+1)}}$ Tương tự ta tìm được $abc\leq \frac{1}{8}$ khi $x=y=z=\frac{3}{2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Giả sử $a\geq b\geq c$ ta dễ dàng có $a,b,c<1$ Vậy $(1-a)(1-b)(1-c)>0\rightarrow ab+bc+ac>1+abc$ Do đó ta có được: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\Rightarrow 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc $ Với $a+b+c=2$ ta có: $27(a^2+b^2+c^2)+54abc\geq 52$ |
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Áp dụng BĐT Schur dạng sau: $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+ac+bc)$ Với $a+b+c=1$ thì $1+9abc\geq 4(ab+bc+ac)$ $\Rightarrow 4(ab+bc+ac)-8abc\leq 1+abc\leq 1+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}$
$\Rightarrow (ab+bc+ac)-2abc\leq \frac{7}{27}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Ta đã biết đến kết quả sau: $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ với mọi a,b,c không âm Do vậy BĐT quy về CM: $ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\geq a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(b^2+a^2)$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Tìm số t!
|
|
|
|
Xác định số thực $t$ sao cho với mọi $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ ta luôn có bất đẳng thức: $\frac{a}{1+9bc+t(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ac+t(c-a)^2}+\frac{c}{1+9ab+t(a-b)^2}\geq \frac{1}{2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
giải bất đẳng thức bằng cân bằng hệ số
|
|
|
|
Đầu tiên ta giả sử rằng P đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=x,b=y,c=z$.Khi đó ta phải có: $x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$.Bây giờ sử dụng BĐT AM-GM ta có: $a^2+x^2\geq 2ax, b^3+b^3+y^3\geq 3yb^2, c^4+c^4+c^4+z^4\geq 4zc^3$ $\Rightarrow a^2+x^2\geq 2ax,\frac{1}{2}(2b^3+y^3)\geq \frac{3}{2}.yb^2,\frac{1}{3}(3c^4+z^4)\geq \frac{4}{3}zc^3$ Cộng lại thì có ngay: $a^2+b^3+c^4\geq (2ax+\frac{3}{2}yb^2+\frac{4}{3}zc^3)-x^2-\frac{y^3}{2}-\frac{z^4}{3}$ Phải chon $x,y,z$ sao cho $2x=\frac{3y}{2}=\frac{4z}{3}$ và $x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$ Giải ra sẽ tìm được:$x=2,y=\frac{8}{3},z=3$ thay vào sẽ tìm đc Min =$\frac{2807}{27}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ sau.
|
|
|
|
Xét PT(2) trước ta có được: $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 2\rightarrow \sqrt{xy}\leq 1\rightarrow \sqrt{xy}\geq xy$ Từ PT(1) có:$\frac{1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)}=\frac{1+\sqrt{2-x^2-y^2}}{\sqrt{xy(2-x^2-y^2)}+4}\leq \frac{1+\sqrt{2-x^2-y^2}}{4}$ Từ PT(2) có được:$\sqrt{2-x^2-y^2}=\frac{2-\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+1}$ $\Rightarrow 2\sqrt{xy}+1\leq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})-(x+y)+xy$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}-2)^2\leq 3+xy-2(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$\Rightarrow 3+\sqrt{xy}\geq 3+xy\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq 4\sqrt[4]{xy}$
$\Rightarrow \sqrt{xy}\geq 1$ Do vậy ta có $x=y=1$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức và cực trị
|
|
|
|
Biến đổi BT về dạng: $P=\frac{\frac{5}{c}+\frac{9}{a}+\frac{8}{b}}{(\frac{4}{b}+\frac{3}{a})(\frac{5}{c}+\frac{4}{b})(\frac{3}{a}+\frac{5}{c})}$ Ta có thể đặt $x=\frac{3}{a},y=\frac{4}{b},z=\frac{5}{c}\rightarrow P=\frac{3x+2y+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}$ Do $a+b+c=\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{5}{z}\leq 6\rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+3(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})\Rightarrow 6\geq \frac{4}{x+y}+\frac{12}{y+z}+\frac{8}{x+z}(1)$ Ta tiếp tục biến đổi $P=\frac{2(x+y)+x+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(x+y)(y+z)}$ Ta đặt $\frac{1}{x+y}=m,n=\frac{1}{y+z},p=\frac{1}{x+z}$ thế thì từ (1) ta có được: $m+3n+2p\leq \frac{3}{2}$ và $P=2np+mn$ Xét $(m+3n+2p)^2-12(2np+mn)=(m-3n+2p)^2\geq0\Rightarrow P\leq \frac{1}{12}.\frac{9}{4}=\frac{3}{16}$ Dấu = khi $a=\frac{3}{2},b=2,c=\frac{5}{2}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức Cô-si
|
|
|
|
Bài 1: a.Áp dụng BĐT Cosi 3 số cho a,b,c và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ b. Có $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$ Nhân 2 BĐT trên vế theo vế ta có đpcm |
|
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
BDT
|
|
|
|
Cho $a,b,c\geq0$ $a+b+c+d=4$ CMR:$\frac{1}{5-abc}+\frac{1}{5-bcd}+\frac{1}{5-cda}+\frac{1}{5-dab}\leq1$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bài nhóm Abel
|
|
|
|
Cho $1\leq z\leq $min{x;y} ;$x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3};y\sqrt{3}+z\sqrt{10}\geq 2\sqrt{10}$.Tìm Max của: P=$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{3}{z^2}$ |
|