$[1+x^2(1-x)^8]=8∑k=0Ck818−k.[x2(1−x)k]=\sum_{k=0}^{8} C_8^k.x^{2k}.(1-x)^k=8∑k=0k∑i=0Ck8.Cik.x2k.1k−i.(−1)i.xi=\sum_{k=0}^{8}\sum_{i=0}^{k}C_8^k.C_k^i.x^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^isố hạng tổng quát là C_8^k.C_k^ix^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^isố hạng chứa x^8 tương ứng với 2k+i=8k và i là 2 số tự nhiên thỏa mãn \begin{cases}k\geq i\geq 0 \\ 2k+i=8 \end{cases}để quá trịnh chọn ngắn hơn,để ý rằng 2k và 8 đều là số chẵn,vậy i cũng phải là số chẵnlần lượt chọn i=0 tới i=8,những số chẵn,ta chọn dc i=0 \Leftrightarrow k=4 và i=2 \Leftrightarrow k=3 i=4 \Leftrightarrow k=2 tới đây loại và dừng lại luôn,vì k\geq i\geq 0vậy hệ số của x^8 là C_8^k.C_k^ix^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^i=C_8^4.C_4^0.1^{4}.(-1)^0+C_8^3.C_3^2.1^1.(-1)^2$$=C_8^4.C_4^0.+C_8^3.C_3^2.$
$[1+x^2(1-x)]^8=\sum_{k=0}^{8} C_8^k1^{8-k}.[x^2(1-x)^k]=\sum_{k=0}^{8} C_8^k.x^{2k}.(1-x)^k=\sum_{k=0}^{8}\sum_{i=0}^{k}C_8^k.C_k^i.x^{2k}.1^{k-i}.(-1)^i.x^i=\sum_{k=0}^{8}\sum_{i=0}^{k}C_8^k.C_k^i.x^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^isố hạng tổng quát là C_8^k.C_k^ix^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^isố hạng chứa x^8 tương ứng với 2k+i=8k và i là 2 số tự nhiên thỏa mãn \begin{cases}k\geq i\geq 0 \\ 2k+i=8 \end{cases}để quá trịnh chọn ngắn hơn,để ý rằng 2k và 8 đều là số chẵn,vậy i cũng phải là số chẵnlần lượt chọn i=0 tới i=8,những số chẵn,ta chọn dc i=0 \Leftrightarrow k=4 và i=2 \Leftrightarrow k=3 i=4 \Leftrightarrow k=2 tới đây loại và dừng lại luôn,vì k\geq i\geq 0vậy hệ số của x^8 là C_8^k.C_k^ix^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^i=C_8^4.C_4^0.1^{4}.(-1)^0+C_8^3.C_3^2.1^1.(-1)^2$$=C_8^4.C_4^0.+C_8^3.C_3^2.$