|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Tích phân
|
|
|
|
Xét : $I=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2-2x\cos \alpha+1}=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{(x-\cos \alpha)^2+\sin^2 \alpha} $
Đặt : $t=x-\cos \alpha \Rightarrow dt=dx$
Đổi cận :
$x=1 \Rightarrow t=1-\cos \alpha=2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $
$x=-1 \Rightarrow t=-1-\cos \alpha=-2\cos^2 \frac{\alpha}{2} $
Lúc đó :
$I=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{(x-\cos
\alpha)^2+\sin^2 \alpha}=\int\limits_{-2\cos^2 \frac{\alpha}{2}
}^{2\sin^2 \frac{\alpha}{2} }\frac{dt}{t^2+\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sin
\alpha}\arctan \alpha(\frac{t}{\sin \alpha} )|_{-2\cos^2
\frac{\alpha}{2} }^{2\sin^2 \frac{\alpha}{2} } $
$=\frac{1}{\sin
\alpha}[\arctan (\tan \frac{\alpha}{2} )+\arctan (\cot \frac{\alpha}{2}
)]=\frac{1}{\sin \alpha}[\frac{\alpha}{2} +\frac{\pi}{2}
-\frac{\alpha}{2} ]=\frac{\pi}{2\sin \alpha} (ycbt) $
|
|
|
|
giải đáp
|
http://www.facebook.com/hoctainha
|
|
|
|
Điều kiện $x>0$
Đặt $x =3^t$ PT đã cho $\Leftrightarrow \log _3 3^(1-t) . \log _2 3^t - \log _3 3^(3t-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \log _2 3^\frac{t}{2}$
$t(1-t) \log _2 3 - 3t + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} +\frac{t}{2} \log _2 3 $
$ \Leftrightarrow t(1-t) \log _2 3 - 3t = \frac{t}{2} \log _2 3 $
$t((1-t)\log _2 3 -3 - \frac{1}{2} \log _2 3) =0 $
-Nếu $t =0 $ thì $x=1$
-Nghiệm còn lại bạn tựi giai nhé
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
http://www.facebook.com/hoctainha/posts/288796927888344?notif_t=wall
|
|
|
|
Dễ thấy PT có nghĩa với mọi $x$
Sử dụng 2 đẳng thức sau : $ (x+\sqrt{x^2+1})( \sqrt{x^2+1} -x) =1 $ và $ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =1$
Suy ra $ \log_{2+\sqrt{3}} (x+\sqrt{x^2+1}) = \log_{2-\sqrt{3}} (\sqrt{x^2+1}-x$)
PT đã cho $\Leftrightarrow 3 \log_{2+\sqrt{3}} (x+\sqrt{x^2+1}) =3 $
$\Leftrightarrow \log_{2+\sqrt{3}} (x+\sqrt{x^2+1}) =1 $
$\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1} = 2+\sqrt{3} $
Chuyển $x$ sang phải bình phương là xong
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị hàm số
|
|
|
|
Hàm số có CĐ, CT $ \Leftrightarrow y' = 3{x^2} - 6x - m = 0$ có 2 nghiệm
phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ' = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m
> - 3 (*) $
Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y'=0$. Theo định lí Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2 =2 \\ x_1.x_2 = - \frac{m}{3} \end{cases} $
Thực hiện chia $y$ cho $y'$ ta được:
$y= y' \left ( \frac{1}{3}x-\frac{1}{3} \right ) - \left ( \frac{2m}{3}+2 \right )x+2-\frac{m}{3} $
$y_1=- \left ( \frac{2m}{3}+2 \right )x_1+2-\frac{m}{3} $
$y_2=- \left ( \frac{2m}{3}+2 \right )x_2+2-\frac{m}{3} $
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: $y=- \left ( \frac{2m}{3}+2 \right )x+2-\frac{m}{3}$
$\Rightarrow y_1+y_2= - \left ( \frac{2m}{3}+2 \right ) \left ( x_1+x_2 \right ) + 2\left ( 2-\frac{m}{3} \right ) $
$= - 2 \left ( \frac{2m}{3}+2 \right ) + 2\left ( 2-\frac{m}{3} \right ) =-2m$
TH1:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song hoặc trùng
với đường thẳng $y=x-1$ $\Leftrightarrow - \left ( \frac{2m}{3}+2
\right )=1 \Leftrightarrow m=\frac{3}{2} (TM) $
TH2: Trung điểm $I$ của $AB$ nằm trên đường thẳng $y=x-1$
Tọa độ của $I= \left ( \frac{x_1+x_2 }{2}; \frac{y_1+y_2 }{2} \right )= \left ( 1; -m \right ) $
$I \in y=x-1 \Leftrightarrow -m=1-1 \Leftrightarrow m=0$
Vậy giá trị của $m$ cần tìm: $m \in \left\{ {0; - \frac{3}{2} } \right\} $
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Cực trị hàm số
|
|
|
|
Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 - mx + 2$. Tìm $m$ để hàm số có cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng $y = x - 1$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Cực trị hàm số
|
|
|
|
Cho hàm số $f(x) = \frac{4}{3}{x^3} - 2(1 - \sin a){x^2} + (1 + \cos2a)x + 1$.
Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2 $ thảo mãn điều kiện: $x_1^2 + x_2^2 = 1$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Cực trị hàm số
|
|
|
|
Cho hàm số $y = x^3 + (1 - 2m)x^2 + (2 - m)x + m + 2 (C)$. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn $x_{CT} < 2$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Cực trị hàm số
|
|
|
|
Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$.
Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
|
|