|
|
giải đáp
|
giải phương trình
|
|
|
|
Nhận thấy cosx = 0 không thỏa mãn (*), do đó ta có thể chia 2 vế của (*) cho $ c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x $ :
$ \begin{array}{l}
(*) \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt 3 {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = 2{\tan ^2}x + 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}\\
2{t^2} + 2\sqrt 3 t = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = 0\\
{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = - \sqrt 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.\,\,(k \in Z)
\end{array} $
Vậy nghiệm cần tìm: $ \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.\,\,(k \in Z) $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hình không gian
|
|
|
|
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $A$ nằm trên $AB$Đặt $MDB=\varphi$. Khi đó dễ dàng ta thấy $S=c+a\cos \varphi+b\sin \varphi$Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $a\cos \varphi+b\sin \varphi \leq \sqrt{a^2+b^2} (1)$Dấu bằng trong $(1)$ có $\Leftrightarrow \frac{a}{\cos \varphi}=\frac{b}{\sin \varphi} \Leftrightarrow \tan \varphi=\frac{b}{a}$Chú ý là trong tam giác vuông $ADB$ thì $\frac{b}{a}=\tan DAB $ từ đó suy ra dấu bằng trong $(1) \Leftrightarrow \varphi =DAB \Leftrightarrow DM \bot AB$Vậy ta có: $S \leq c+\sqrt{a^2+b^2}$Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $S \leq \sqrt{2(A^2+b^2+c^2)} (2) \Rightarrow$ điều phải chứng minhDấu bằng trong $(2)$ có $\Leftrightarrow DM\bot AB$ và $c=\sqrt{a^2+b^2}$
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $A$ nằm trên $AB$Đặt $MDB=\varphi$. Khi đó dễ dàng ta thấy $S=c+a\cos \varphi+b\sin \varphi$Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $a\cos \varphi+b\sin \varphi \leq \sqrt{a^2+b^2} (1)$Dấu bằng trong $(1)$ có $\Leftrightarrow \frac{a}{\cos \varphi}=\frac{b}{\sin \varphi} \Leftrightarrow \tan \varphi=\frac{b}{a}$Chú ý là trong tam giác vuông $ADB$ thì $\frac{b}{a}=\tan DAB $ từ đó suy ra dấu bằng trong $(1) \Leftrightarrow \varphi =DAB \Leftrightarrow DM \bot AB$Vậy ta có: $S \leq c+\sqrt{a^2+b^2}$Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $S \leq \sqrt{2(A^2+b^2+c^2)} (2) \Rightarrow$ điều phải chứng minhDấu bằng trong $(2)$ có $\Leftrightarrow DM\bot AB$ và $c=\sqrt{a^2+b^2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hình không gian
|
|
|
|
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $A$ nằm trên $AB$Đặt $MDB=\varphi$. Khi đó dễ dàng ta thấy $S=c+a\cos \varphi+b\sin \varphi$Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $a\cos \varphi+b\sin \varphi \leq \sqrt{a^2+b^2} (1)$Dấu bằng trong $(1)$ có $\Leftrightarrow \frac{a}{\cos \varphi}=\frac{b}{\sin \varphi} \Leftrightarrow \tan \varphi=\frac{b}{a}$Chú ý là trong tam giác vuông $ADB$ thì $\frac{b}{a}=\tan DAB $ từ đó suy ra dấu bằng trong $(1) \Leftrightarrow \varphi =DAB \Leftrightarrow DM \bot AB$Vậy ta có: $S \leq c+\sqrt{a^2+b^2}$Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $S \leq \sqrt{2(A^2+b^2+c^2)} (2) \Rightarrow$ điều phải chứng minhDấu bằng trong $(2)$ có $\Leftrightarrow DM\bot AB$ và $c=\sqrt{a^2+b^2}$
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $A$ nằm trên $AB$Đặt $MDB=\varphi$. Khi đó dễ dàng ta thấy $S=c+a\cos \varphi+b\sin \varphi$Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $a\cos \varphi+b\sin \varphi \leq \sqrt{a^2+b^2} (1)$Dấu bằng trong $(1)$ có $\Leftrightarrow \frac{a}{\cos \varphi}=\frac{b}{\sin \varphi} \Leftrightarrow \tan \varphi=\frac{b}{a}$Chú ý là trong tam giác vuông $ADB$ thì $\frac{b}{a}=\tan DAB $ từ đó suy ra dấu bằng trong $(1) \Leftrightarrow \varphi =DAB \Leftrightarrow DM \bot AB$Vậy ta có: $S \leq c+\sqrt{a^2+b^2}$Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $S \leq \sqrt{2(A^2+b^2+c^2)} (2) \Rightarrow$ điều phải chứng minhDấu bằng trong $(2)$ có $\Leftrightarrow DM\bot AB$ và $c=\sqrt{a^2+b^2}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Hình không gian
|
|
|
|
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $A$ nằm trên $AB$
Đặt $MDB=\varphi$. Khi đó dễ dàng ta thấy $S=c+a\cos \varphi+b\sin \varphi$
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
$a\cos \varphi+b\sin \varphi \leq \sqrt{a^2+b^2} (1)$
Dấu bằng trong $(1)$ có $\Leftrightarrow \frac{a}{\cos \varphi}=\frac{b}{\sin \varphi} \Leftrightarrow \tan \varphi=\frac{b}{a}$
Chú ý là trong tam giác vuông $ADB$ thì $\frac{b}{a}=\tan DAB $ từ đó suy ra dấu bằng trong $(1) \Leftrightarrow \varphi =DAB \Leftrightarrow DM \bot AB$
Vậy ta có: $S \leq c+\sqrt{a^2+b^2}$
Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: $S \leq \sqrt{2(A^2+b^2+c^2)} (2) \Rightarrow$ điều phải chứng minh
Dấu bằng trong $(2)$ có $\Leftrightarrow DM\bot AB$ và $c=\sqrt{a^2+b^2}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình
|
|
|
|
Điều kiện : $x > 0$
Ta có : ${\log _2}x + {\log _4}x + {\log _8}x = 11$
$\Leftrightarrow $ ${\log _2}x + {\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 11$
$\Leftrightarrow $ ${\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x + \frac{1}{3}{\log _2}x = 11$
$\Leftrightarrow $ $\frac{{11}}{6}{\log _2}x = 11 \Leftrightarrow {\log _2}x = 6 \Leftrightarrow
x = {2^6} = 64$ (nhận)
|
|
|
|
giải đáp
|
Hệ phương trình
|
|
|
|
Giải
Trừ \((1)\) cho \((2)\) vế theo vế ta có: \( 3(x-y)(x+y-1)=0\)
Hệ đã cho tương đương với:
\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=y \\ 2x^2-3x=y^2-2 \end{cases}\\\begin{cases}y=1-x \\ 2x^2-3x=y^2-2 \end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=y \\ 2x^2-3x=x^2-2 \end{cases}\\\begin{cases}y=1-x \\ 2x^2-3x=(1-x)^2-2 \end{cases}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \begin{cases}x=y \\ \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x= 1\\ y=1 \end{cases}\\\begin{cases}x=2 \\ y= 2\end{cases}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: \(\left[\begin{array}{l} x=y=1\\ x=y=2 \end{array} \right.\)
|
|
|
|
giải đáp
|
Hệ phương trình
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Hệ phương trình
|
|
|
|
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\left( 1 \right)\\ {y^3} = 3y + 8x\left( 2 \right) \end{array} \right.\) Lấy $(1)$ trừ $(2)$ vế theo vế ta có \({x^3} - {y^3} = 5\left( {y - x} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\), thế vào $(1)$ có: \({x^3} = 11x \Leftrightarrow x = 0,x = \pm \sqrt {11}\) Đáp số:\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt {11} \\
y = \sqrt {11}
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt {11} \\
y = - \sqrt {11}
\end{array} \right.\)
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Ai có đáp án sớm bài toán sau mình xin hậu tạ 1k
|
|
|
|
Ta có:
$x^2-4xy+5y^2=169 \Leftrightarrow (x-2y)^2+y=169 $. Tuy nhiên, số $169$ chỉ có thể viết dưới dạng tổng của hai số nguyên dương bình phương theo hai cách:
$169=0^2+13^2=5^2+12^2$
Từ đó ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=0\\ y=13 \end{array} \right. $ hay $\left\{ \begin{array}{l} x-2y=13\\ y=0 \end{array} \right. $, hay
$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=0\\ y=-13 \end{array} \right. $ hay $\left\{ \begin{array}{l} x-2y=-13\\ y=0 \end{array} \right. $, hay
$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=5\\ y=12 \end{array} \right. $ hay $\left\{ \begin{array}{l} x-2y=12\\ y=5 \end{array} \right. $, hay
$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=-5\\ y=12 \end{array} \right. $ hay $\left\{ \begin{array}{l} x-2y=12\\ y=-5 \end{array} \right. $, hay
$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=5\\ y=-12 \end{array} \right. $ hay $\left\{ \begin{array}{l} x-2y=-12\\ y=5 \end{array} \right. $, hay
$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=-5\\ y=-12 \end{array} \right. $ hay $\left\{ \begin{array}{l} x-2y=-12\\ y=-5 \end{array} \right. $, hay
Suy ra phương trình đã cho có các nghiệm nguyên sau:
$(13,0);(-13,0);(26,13);(-26,-13);(29,12);$
$(-29,-12);(19,12);(-19,-12);(22,5);(-22,-5)$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giải phương trình
|
|
|
|
\(\frac{an}{a-x}+\frac{\left ( a+n \right )\left ( anx+nx^{2}+x^{3} \right )}{x^{3}+nx^{2}-a^{2}x-a^{2}n}=\frac{ax}{n+x}\frac{nx^{2}}{x^{2}-a^{2}}\)\(\Leftrightarrow \frac{an}{a-x}+\frac{\left ( a+n \right )\left ( anx+nx^{2}+x^{3} \right )}{x^{2}\left ( x+n \right )-a^{2}\left ( x+n \right )}=\frac{ax}{n+x}\frac{nx^{2}}{x^{2}-a^{2}}\)\(\Leftrightarrow \frac{-an\left ( x+n \right )\left ( x +a\right )+\left ( a+n \right )+\left ( ax +nx^{2}+x^{3}\right )}{\left ( x+n\right )\left ( x^{2}-a^{2} \right )}=\frac{ax\left ( x^{2}-a^{2}x \right )+nx^{2}\left ( n+x \right )}{\left ( x+n\right )\left ( x^{2}-a^{2} \right )}\)\(\Leftrightarrow -an\left ( x^{2}+nx+ax+an \right )+a^{2}nx+anx^{2}+ax^{3}+n^{2}ax+n^{2}x^{2}+nx^{3}\)\(=ax^{3}-a^{3}x+n^{2}x^{2}+nx^{3} \)\(\Leftrightarrow -anx^{2}-an^{2}x-a^{2}nx-a^{2}n^{2}+a^{2}nx+anx^{2}+ax^{3}+n^{2}ax+n^{2}x^{2}+nx^{3}\)\(=ax^{3}-a^{3}x+n^{2}x^{2}+nx^{3} \)\(\Leftrightarrow -a^{2}n^{2}=-a^{3}x\Leftrightarrow x=\frac{a^{2}n^{2}}{a^{3}} =\frac{n^{2}}{a}\)
\(\frac{an}{a-x}+\frac{\left ( a+n \right )\left ( anx+nx^{2}+x^{3} \right )}{x^{3}+nx^{2}-a^{2}x-a^{2}n}=\frac{ax}{n+x}\frac{nx^{2}}{x^{2}-a^{2}}\)\(\Leftrightarrow \frac{an}{a-x}+\frac{\left ( a+n \right )\left ( anx+nx^{2}+x^{3} \right )}{x^{2}\left ( x+n \right )-a^{2}\left ( x+n \right )}=\frac{ax}{n+x}\frac{nx^{2}}{x^{2}-a^{2}}\)\(\Leftrightarrow \frac{-an\left ( x+n \right )\left ( x +a\right )+\left ( a+n \right )+\left ( ax +nx^{2}+x^{3}\right )}{\left ( x+n\right )\left ( x^{2}-a^{2} \right )}=\frac{ax\left ( x^{2}-a^{2}x \right )+nx^{2}\left ( n+x \right )}{\left ( x+n\right )\left ( x^{2}-a^{2} \right )}\)\(\Leftrightarrow -an\left ( x^{2}+nx+ax+an \right )+a^{2}nx+anx^{2}+ax^{3}+n^{2}ax+n^{2}x^{2}+nx^{3}\)\(=ax^{3}-a^{3}x+n^{2}x^{2}+nx^{3} \)\(\Leftrightarrow -anx^{2}-an^{2}x-a^{2}nx-a^{2}n^{2}+a^{2}nx+anx^{2}+ax^{3}+n^{2}ax+n^{2}x^{2}+nx^{3}\)\(=ax^{3}-a^{3}x+n^{2}x^{2}+nx^{3} \)\(\Leftrightarrow -a^{2}n^{2}=-a^{3}x\Leftrightarrow x=\frac{a^{2}n^{2}}{a^{3}} =\frac{n^{2}}{a}\)
|
|