3) Điều kiện $x >0$. Do $1/2<1$ nên ta có
BPT $\Leftrightarrow 3{\log _{\frac{1}{2}}}x < 1\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x < 1/3\Leftrightarrow x>(1/2)^{1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

h) Điều kiện: $x^2-3x+2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>2\\x<1 \end{array} \right.$
Phương trình tương đương với:
$\displaystyle\frac{1}{2}\log_3(x^2-3x+2)+\left(\frac{1}{5}\right)^{3x-x^2-1}=2$
Đặt: $x^2-3x+2=t$, phương trình trở thành:
$\displaystyle\frac{1}{2}\log_3t+\left(\frac{1}{5}\right)^{1-t}=2$
Xét hàm: $\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\log_3t+\left(\frac{1}{5}\right)^{1-t},t>0$
Ta có: $\displaystyle f'(t)=\frac{1}{2t\ln3}-\left(\frac{1}{5}\right)^{1-t}\ln\left(\frac{1}{5}\right)>0,\forall t>0$
Suy ra $f(t)=2$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(t)=2$ có nghiệm rất xấu. $t\approx 1,383045303$

g) Ta có:
$\log_5(5^x+1).\log_{25}(5^{x+1}+5)=2m+1$
$\Leftrightarrow \log_5(5^x+1).\frac{1}{2}(\log_5(5^x+1)+1)=2m+1$ 
Đặt $t=\log_5(5^x+1)$ thì suy ra $t>0$.
Phương trình trở thành: $t(t+1)=2(2m+1)$ 
                   $\Leftrightarrow m=\frac{t^2+t-2}{4}$ 
Xét hàm: $f(t)=  \frac{t^2+t-2}{4}$ với $t>0$
ta có: $f'(t)=\frac{2t+1}{4}>0,\forall t>0$ 
Suy ra: $m>f(0)=\frac{-1}{2}$ 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với: $m>\frac{-1}{2}$

f2) Trước hết cần đk
$\begin{cases}x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ 10x - 2{x^2} - 12 \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow $ $x=2$ hoặc $x=3$.
Với $x=2$. BPT $\Leftrightarrow 2 + 3{\log _4}\frac{3}{2} \ge 3\Leftrightarrow $, thỏa mãn.
Với $x=3$. BPT $\Leftrightarrow 3 + 3{\log _4}\frac{3}{3} \ge 3\Leftrightarrow $, thỏa mãn.

f1)
Trước hết cần đk
$\begin{cases}x^2 - 7x + 12 \ge 0 \\ 14x - 2{x^2} - 24 \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow $ $x=4$ hoặc $x=3$.
Với $x=4$. BPT $\Leftrightarrow 2 \left( {\frac{2}{4} - 1} \right) \le2{\log _4}\frac{2}{4}$, thỏa mãn.
Với $x=3$. BPT $\Leftrightarrow 2 \left( {\frac{2}{3} - 1} \right) \le2{\log _3}\frac{2}{3}$, không thỏa mãn.

e) Bạn xem tại đây nhé
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114195/he-pt-logarit

d) Điều kiện: $x> -1$
Phương trình tương đương với:
$\log_2^2(x+1)-3\log_2(x+1)+2=0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_2(x+1)=1\\ \log_2(x+1)=2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+1=2\\ x+1=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1\\ x=3 \end{array} \right.$  (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là : $x\in\{1;3\}$.

c) Điều kiện: $x>\frac{1}{2} $ và $x\neq 1.$
Phương trình đã cho tương đương với
$\log_{2x-1}(2x-1)(x+1)+\log_{x+1}(2x-1)^2=4$
$\Leftrightarrow 1+\log_{2x-1}(x+1)+2\log_{x+1}(2x-1)=4$
Đặt $t=\log_{2x-1}(x+1)$, ta có PT $\Leftrightarrow t+\frac{2}{t}=3\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t = 2\end{array} \right. $
* Với  $t=1\Rightarrow \log_{2x-1}(x+1)=1\Leftrightarrow 2x-1=x+1\Leftrightarrow x=2.$
* Với $t=2\Rightarrow \log_{2x-1}(x+1)=2\Leftrightarrow (2x-1)^2=x+1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0      \text{ ( loại)}\\x=\frac{5}{4}    \text{(thỏa mãn) } \end{array} \right.$
Nghiệm của phương trình là: $x=2$ và $x=\frac{5}{4}. $

b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x\ge 1\\0< y\le2 \end{array} \right.$.
Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1\\3(1+\log_9(x^2))-3\log_3y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \\ \log_3x=\log_3y \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ 1+2\sqrt{(x-1)(2-x)}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ (x-1)(2-x)=0 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=y=1\\ x=y=2 \end{array} \right.$      (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ là: $(x,y)\in\{(1;1),(2;2)\}$

h) Với $n=1$ và $n=2$ BĐT đúng.
Với $n\geq3$ ta có  $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)<3\left(1+\frac{1}{n}\right)\leq4$

g) $ \sum \frac {x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}} {x ^ {2} + y ^ {2}} \geq \frac {3} { 2} $

Ta có  $ \sum x^2 \ge \sum xy =1$
$ \sum \frac {x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}} {x ^ {2} + y ^ {2}}= \sum (x^2 + \sum \frac {x ^ {4} } {x ^ {2} + y ^ {2}}) \ge \sum x^2+ \frac {\sum x^2} {2}=  \frac {3} { 2} (\sum x^2)  \geq \frac {3} { 2}$

f) Theo BĐt Cô-si
\[\frac{x^3}{x^2+yz}=x-\frac{xyz}{x^2+yz}\geq x-\frac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=x-\frac{\sqrt{yz}}{2}\geq x-\frac{y+z}{4}\]
Suy ra
\[\sum_{cyc}\frac{x^3}{x^2+yz}\geq x+y+z-\frac{2}{4}(x+y+z)=\frac{1}{2}(x+y+z)=\frac{1}{2}\]
Dấu bằng  $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.

e) Bài này đơn giản chỉ cần áp dụng
$|b+c-a|+|b+a-c| \geq |(b+c-a)+(b+a-c)|$
và: $|b+c-a|+|b+a-c| \geq | (b+c-a)-(b+a-c) |$

d) Đặt $ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t  $ , PT
 $\Leftrightarrow t^{2}-2+4\geq 3t\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0  $, luôn đúng.

c) Ta có  $2(a+b) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.
Do đó $2(a+b)^2 + (a+b) \geq \frac {1} {2} (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 ( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + 1) \geq  (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3$, vì nó tương với $ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2( (\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 1)^2 \geq 0$.
Mặt khác
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3 = a\sqrt{a} + 3(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) + b\sqrt{b} \geq 4(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})$, do
$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})^2 \geq 0$