Để đơn giản cách viết, đặt $S=a+b+c \Rightarrow S-2a=b+c-a>0, S-2b=c+a-b>0$
$S-2c=a+b-c>0$.Ta có $Q+\frac{29}{2}=(\frac{4a}{S-2a}+2)+(\frac{9b}{S-a}+\frac{9}{2})+(\frac{16c}{S-2c}+8)$
$=\frac{2S}{S-2a}+\frac{9S}{2(S-2b)}+\frac{8S}{S-2c}=\frac{S}{2}(\frac{2^2}{S-2a}+\frac{3^2}{S-2b}+\frac{4^2}{S-2c})      (1)$
Theo Svacxo: $\frac{2^2}{S-2a}+\frac{3^2}{S-2b}+\frac{4^2}{S-2c} \geq \frac{(2+3+4)^2}{(S-2a)+(S-2b)+(S-2c)}=\frac{81}{S}  (2)$
Thay $(1)$ vào $(2)$ có: $Q+\frac{29}{2} \geq \frac{S}{2}.\frac{81}{S} \Leftrightarrow  Q \geq \frac{81-29}{2}=26$  (đpcm)                 
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\frac{S-2a}{2}=\frac{S-2b}{3}=\frac{S-2c}{4}$
$\begin{cases}\frac{S-2a}{2}=\frac{S-2b}{3}   \\ \frac{S-2a}{2}=\frac{S-2c}{4}   \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}5b+c=5a \\  b+3c=3a\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}2b-c=a \\ b+3c=3a \end{cases} \Leftrightarrow  \frac{a}{7}=\frac{b}{6}=\frac{c}{5}>0$

Hiển nhiên thấy $a+b+c\ne0$ vì nếu ngược lại $a+b+c=0$ thì

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = \frac{a}{-a} + \frac{b}{-b} + \frac{c}{-c} = -3 \ne 1$.

Ta có

     $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\right )=a+b+c$

$\Rightarrow \left ( a+b+c \right )  \frac{a}{b+c}  +\left ( a+b+c \right )  \frac{b}{a+c}  +\left ( a+b+c \right ) \frac{c}{a+b} =a+b+c$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{a+b} +a+b+c=a+b+c$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} +\frac{c^2}{a+b}=0.$

$a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)$.

Dễ thấy $a^2+2a+2=(a+1)^2+1\ge 1$ và $a^2-2a+2=(a-1)^2+1\ge 1$ với mọi $a$

Do đó $a^4+4$ là số nguyên tố

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a^2-2a+2=1\\ a^2+2a+2=1 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a=1\\ a=-1 \end{matrix}} \right.$

ĐK: $x \ge 2/3$. Anh giả sử em đã làm được bước sử dụng biểu thức liên hợp và đưa BPT về dạng

$\Leftrightarrow (x-2)\underbrace{\left ( \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{1}{\sqrt{3x-2}+2}+x+1\right )}_A \le 0$

Do $\sqrt{3x-2}+2 \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3x-2}+2} \le \frac12<1 \Rightarrow A>0$.

Vậy BPT $\Leftrightarrow 2/3 \le x \le 2.$