Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

Giải hệ PT:
$\begin{cases}
 & \text{  } \frac{(x+y+y\sqrt{x})^3}{3(x+\sqrt{x}+1)}+y\sqrt{x}=4  \\
 & \text{  } \left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y} \right)^2(x+y^2+y\sqrt{x})=12x  
\end{cases}$

Chuyển vế nhân chéo:
$\sqrt{2x+y}\left ( 4x^4+(2+2y)x^3+(4y^2-2y-6)x^2+(-4y^2-y-5)x-2y^2-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x+y}(2x^2-2x-1)(2x^2+xy+3x+2y^2+1)=0$
TH1 giải dễ rồi
TH2 giải suýt dễ
TH3: $2x^2+xy+3x+2y^2+1=0$ và $2x+y\neq 0$ thay PT(2):
$2x^3+2y\sqrt{2x+y}=-2x^2$
nhân chéo tiếp đc:
$(2x^3+2x^2)(2x+1)+2y(x^3+2x^2y)=0$
$\Leftrightarrow x^2(4x^2+4x+2xy+2+4y^2)=0$
$\Leftrightarrow x^2(2(x+1)^2+x^2+(x+y)^2+3y^2)=0$
P/s: ai làm đc bài này theo cách khác thì up lên cho mn tham khảo nhé. cách này ko hay lắm :'(

PT(1) $\Leftrightarrow (x-y-2)(x^2+(4y+2)x+7y^2+10y+7)=0$
$\Leftrightarrow (x-y-2)((x+2y+1)^2+3y^2+6y+6)=0\Leftrightarrow x=y-2$
Thay PT(2), nhân 3 cả 2 vế:
$3x^3+3x^2-12x-12+(5-x-3\sqrt{3-x})+(x+4-3\sqrt{x+2})=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x+1)(...)=0$
P/s: đề này nặng về tính toán quá :(

Cho $x;y;z>0$ thỏa mãn: $5(x^2+y^2+z^2)=9(xy+2yz+zx)$.
Tìm GTLN: $P=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}$

Cho a,b,c ko âm và $a+b+c>0$. CMR:
$\frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{5c^2+(a+b)^2}\leq \frac{1}{3}$

Ngày trước mh có gặp 1 bài tương tự nhưng là tìm GTLN:
$(3+2\sqrt{2})x^2+y^2\geq 2(1+\sqrt{2})xy$
$(3+2\sqrt{2})x^2+z^2\geq 2(1+\sqrt{2})xz$
$2(1+\sqrt{2})(y^2+z^2)\geq 4(1+\sqrt{2})yz$
$\Rightarrow (3+2\sqrt{2})(x^2+y^2+z^2) \geq 2(1+\sqrt{2})(xy+2yz+zx)$
$\Leftrightarrow 3+2\sqrt{2}\geq 2(1+\sqrt{2})F\Rightarrow F\leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Cho a,b,c dương và $a^2+b^2+bc=c^2$.Tìm GTNN:
$P=a^2-2a+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c(1-\sqrt{ab+1})+abc}{b+c}$

Cho x,y,z>0 thỏa mãn: $xyz\geq 1; z\leq 1$. Tìm GTNN:
$P=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{4-z^3}{3+3xy}$

Cho $x,y,z>0$. CMR: $\sum \frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}\geq1 $

Ta chứng minh: $\frac{1}{x^3+2}\geq \frac{1}{2}-\frac{1}{6}x^2$
xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=1$

Ta chứng minh bđt sau: $3\sqrt{2x+3}\geq 2\sqrt{x-2}+7$
Bđt này có thể chứng minh tương đương bằng cách bình phương và xảy ra dấu bằng khi $x=3$
Tương tự với y,z đc nghiệm (x;y;z)=(3;3;3)
P/s: ko biết thế đã đúng ý của tác giả chưa?

Giải PT: $\frac{3x^4-2x^2-6x+5}{\sqrt{x^5+x^2+7x+7}}+2x=x^4+1$

Ta có thể chứng minh: $\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2}}\geq \frac{x+y}{2}(1)$
$\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2}}\geq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}(2)$
2 bđt trên có thể dùng biến đổi tương đương
P/s: bạn nào có cách hay hơn thì giải ra hộ mình nhé. Cảm ơn trước! Mình rất cần.