Bài này bạn có thể chứng mình bằng quy nạp toán học ,hoăc làm như sau:Do n không chia hết cho 3 nên -Nếu n=3k+1 bài toán trở thành x6k+2+x3k+1+1 chia hết cho x2+x+1 (*)Thật vậy : (x6k+2−x2)+(x3k+1−x)+x2+x+1=x2(x6k−1)−x(x3k−1)+x2+x+1 Do x3−1=(x−1)(x2+x+1) chia hết cho x2+x+1 nên x6k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1x3k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1Suy ra (*) đúng-Nếu n=3k+2 bài toán trở thành x6k+4+x3k+2+1 chia hết cho x2+x+1 (**)Thật vậy : (x6k+2−x4)+(x3k+2−x2)+x4+x2+1=x4(x6k−1)−x2(x3k−1)+(x4+2x2+1)−x2 Do x3−1=(x−1)(x2+x+1) chia hết cho x2+x+1 nên x6k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1x3k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1 Và (x4+2x2+1)−x2=(x2+1)2−x2=(x2+1+x)(x2+1−x) chia hết cho x2+x+1Suy ra (**) đúngTừ (*) và (**) suy DPCM
Bài này bạn có thể chứng mình bằng quy nạp toán học ,hoăc làm như sau:Do n không chia hết cho 3 nên -Nếu n=3k+1 bài toán trở thành x6k+2+x3k+1+1 chia hết cho x2+x+1 (*)Thật vậy : (x6k+2−x2)+(x3k+1−x)+x2+x+1=x2(x6k−1)−x(x3k−1)+x2+x+1 Do x3−1=(x−1)(x2+x+1) chia hết cho x2+x+1 nên x6k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1x3k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1Suy ra (*) đúng-Nếu n=3k+2 bài toán trở thành $x^{6k+4} +x^{3k+2}+1chiahếtchox^2+x+1(∗∗)Thậtvậy:(x^{6k+2}-x^4) +(x^{3k+2}-x^2)+x^4+x^2+1 = x^4(x^{6k} -1) -x^2(x^{3k}-1)+(x^4+2x^2+1)-x^2Dox^3-1 =(x-1)(x^2+x+1)chiahếtchox^2+x+1 nên x^{6k} -1 chia hết cho x^3-1 chia hết cho x^2+x+1$$x^{3k} -1$ chia hết cho $x^3-1$ chia hết cho $x^2+x+1$ Và $(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1+x)(x^2+1-x)$ chia hết cho $x^2+x+1$Suy ra (**) đúngTừ (*) và (**) suy DPCM