2] 
Giả sử OA cắt MN tại H 
Ta có $\triangle  OAN = \triangle  OAM$ (vì OA, chung; $\widehat{ONA} = \widehat{OMA} =90^o; ON =OM =R)$ 
$\Rightarrow\widehat{AON}=\widehat{AOM}$ 
=> OA là phân giác của tam giác cân OMN 
=> OA cũng là đường cao tam giác OMN 
=> OA _|_MN 

$=>  \triangle AKH \sim \triangle  OAI$ (vì \widehat{AHK} = \widehat{AIO}= 90; góc A chung) 
=> AK/AH = AI/AO 
=> AK.AI = AH.AO 
mà AH.AO =AM^2 (hệ thức lượng tg vuông AMO, MH là đ/cao) 
=> AK.AI = AM^2 ------(2*) 

Mặt khác tg ABM ~ tg AMC (vì ^A chung; ^ACN = ^AMB) 
=> AB/AM = AM/AC 
=> AB.AC = AM^2 ---(3*) 

Từ (2*, 3*) => AK.AI = AB.AC 

3] 
Ta thấy ^AIO = 90o 
=> I nằm trên đường tròn (I) đ/kính OA 
Do I nằm trong (O) => I nằm trên cung tròn cắt nhau giữa 2 đ/tròn (I) & (O) 

4] 
Ta cũng có tg AION nội tiếp đ.tròn đ/k OA 
Từ (1*) => A, N, I, O, M nội tiếp 
=> ^AIN = ^AMN 
=> ^AIM = ^ANM 
mà ^ANM = ^AMN (do tg AMN cân vì AM=AN) 
=> ^AIN = AIM 
=> IK là phân giác góc ^MIN 
=> IM/IN = MK/KN (theo định lý đường phân giác) 
mà IM/IN =2 
=> MK/KN = 2 
=> Cát tuyến ABC qua A cắt MN theo tỷ lệ 2: 1 thì thỏa mãn IM/IN =2

cho 2012 số  nguyên dương $x_1;x_2;x_3...;x_{2011};x_{2012}$ thỏa mãn điều kiện sau : 

tìm $a_{1};a_2;a_3;a_4 \in N $ mà $a_1$P_1=a_4-a_3 ;                                   P_2=a_3-a_2;                                                                       P_3=a_2-a_1 ;                     P _4=a_4-a_2;                  P_5=a_3-a_1;                   P_0=a_4-1$

đều là các số nguyên tố và có thể bằng nhau

cho $x;y \in R$ mà $x^4+y^4+x^2-3=2y^2(1-x^2)$

cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) ngoại tiếp (I;r) chứng minh $R\geq r\sqrt{2}$

cho (d) y=kx+1 và (P): $y=x^2$ 

trên $(P) y=x^2$ lấy ba điểm phân biệt $A(a;a^2);B(b;b^2);c(c;c^2)$ mà $a^2-b=b^2-c=c^2-a$ 

cho a;b;c >0 chứng minh :

Câu 1:
a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2−4xy+4x−8y−12=0$
b) Cho $p(x)=x^3−3x^2+14x−2$. Tìm các số tự nhiên $x<100$ sao cho $p(x)$ chia hết cho $11$

Câu 2
a) Tính giá trị biểu thức
$P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2} $ với $a=\sqrt[a]{55+\sqrt{3024} } +\sqrt[a]{55-\sqrt{3024} }$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\z^3=3z-1 \end{array} \right. $
Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.
a) Giải phương trình : $3x−1+\frac{x-1}{4x} =\sqrt{3x+1} $
b) Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{array} \right.$

Câu 4.
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi nội tiếp $\Delta EAF$ quay quanh A và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với A so với $BC, AF,AE$ cắt BC tại M,N. Lấy điểm D sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.
a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : I luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\Delta  EAF$ quay quanh A.
c) Tìm min của $OI$ khi góc $EAF=60^0,BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :
$∑\frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy} \geq 4xyz$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

cho m là số nguyên dương tìm x;y (x khác 0) sao cho $A=\overline{xy5}+100m(m+5) $  là số chính phương

cho phương trình $x^2-2(a+b+c)x+3(ab+ac+2bc+\frac{a^2}{2})=0$

cho a;b;c dương và $a^2+b^2<1$ Chứng mình phương trình $(a^2+b^2-1)x^2-2(ac+bc-1)x+1+(c^2+d^2-1)=0$ có nghiệm

tìm $\overline{abc} $ biết $\overline{abc}=22(a+b+c) $