Điều kiện : $\left\{ \begin{array}{l}
1 \ne 2x - 1 > 0\\
1 \ne {x^2} - 3x + 2 > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 \ne x > \frac{1}{2}\\
x < 1\,\,\,\,;\,x > 2\\
x \ne \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} < x < 1\\
x > 2\,\,\,\,\ x \ne \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,(*)
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow  - \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_2}\sqrt
{{x^2} - 3x + 2} }} > 0\,\,\,\,\\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left( {2x - 1} \right).{\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  > 0\\
{\log _2}\left( {2x - 1} \right) > {\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array}$
Hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left( {2x - 1} \right) < 0\\
{\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$
giải  ($2$) :
 $(2) \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  > 1\\
2x - 1 > \sqrt {{x^2} - 3x + 2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$
Hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 < 1\\
2x - 1 > \sqrt {{x^2} - 3x + 2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)$
$(4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 1 > 0\\
3{x^2} - x - 1 > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,;x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\
x < \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6}\,;\,x > \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}
\end{array} \right.$
Xét các điều kiện ($*$) ta có $x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$
$(5) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
3{x^2} - x - 1 > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
x < \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6}\,\,;\,\,x > \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}
\end{array} \right.$
Đối chiếu với điều kiện ($*$) ta có ($5$) vô nghiệm
giải ($3$) :
$(3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < 2x - 1 < 1\\
{x^2} - 3x + 1 > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} < x < 1\\
x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,;\,x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$
Hệ này vô nghiệm
Vậy nghiệm của ($1$) là $x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$

$1)\,\,\,x = 1$ vế trái không xác định, ĐK:$x > 0$
•    $\left| {x - 1} \right| > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x > 2\\
 x < 0
\end{array} \right.$    (loại $x < 0$)
$(1) \Leftrightarrow {\log ^2}x - \log {x^2} \ge 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\log x \le  - 1\\
\log x \ge 3
\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le \frac{1}{{10}}\\
x \ge 1000
\end{array} \right.$
Do $x > 2$nên$x \ge 1000$
•    $\left| {x - 1} \right| < 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,0 < x < 2$
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow {\log ^2}x - 2\log x - 3 \le 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\, - 1 \le \log x \le 3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} \le x \le 1000
\end{array}$
Do  $0 < x < 2$ nên $\frac{1}{{10}} \le x \le 2$
                                          ĐS:  $\left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{{10}} \le x < 2\\
x \ge 1000
\end{array} \right.$
$2)$$x = 0$ vế trái không xác định
$\begin{array}{l}
\left| x \right| > 1:(2) \Leftrightarrow {x^2} - 2x \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le 0\\
x \ge 2
\end{array} \right.\\

\end{array}$
Do $\left| x \right| > 1$ nên $\left[ \begin{array}{l}
x <  - 1\\
x \ge 2
\end{array} \right.$
$\left| x \right| < 1,\,\,x \ne 0\,\,\,(1) \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 0\,\,\, \Leftrightarrow 0 < x \le 2$
Do $\left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < x < 1\\
x \ne 0
\end{array} \right.\,\,\,\,$nên $0 < x < 1$
ĐS : $\left[ \begin{array}{l}
x <  - 1\\
0 < x < 1\\
x \ge 2
\end{array} \right.$

$1)$   
TXĐ: R.
Đặt $f(x) = {2^x} + x - 3$
Ta có $f(1) = 0 \Rightarrow x = 1$ là $1$ nghiệm.
Cho $x_1>x_2\in R\Rightarrow 2^{x_1}>2^{x_2}\Rightarrow 2^{x_1}+x_1-3>2^{x_2}+x_2-3$
$\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ suy ra hàm f đồng biến trên R.
Khi $x > 1\,\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} > 2 \Rightarrow {2^x} + x - 3 > 0 \Rightarrow $$(1)$ vô nghiệm
Khi $x < 1\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} < 2\,\,\, \Rightarrow {2^x} + x - 3 < 0 \Rightarrow (1)$ vô nghiệm
Vậy $(1)$ có nghiệm duy nhất $x = 1$.

$2)$
Do $12^x>0$, chia cả 2 vế phương trình cho $12^x$ ta được
$\left (\frac{3}{12} \right )^x+\left (\frac{4}{12} \right )^x+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
$\Leftrightarrow 4^{-x}+3^{-x}+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
Đặt $f(x)=3^{-x}+4^{-x}+1$        ;           $g(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
Xét $f'(x)=-3^{-x}.\ln3-4^{-x}.\ln4<0\forall x\Rightarrow $ f(x) nghịch biến trên R
       $g'(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x.\ln\left (\frac{13}{12} \right )\forall x\Rightarrow $ g(x) đồng biến trên R
Suy ra phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.
Ta có $f(2)=g(2)\Rightarrow x=2$ là 1 nghiệm của phương trình.
Vậy $(2)$ có nghiệm duy nhất $x = 2$

Biết $M_1(2;1),M_2(5;3),M_3(3,-4)$
-Phương trình đường thẳng $M_1M_2 :$
$\frac{x-2}{5-2}=\frac{y-1}{3-1}  \Leftrightarrow  2x-3y-1=0$
$BC//M_1M_2$nên phương trình $BC$ có dạng $2x-3y+C=0$, đường thẳng $BC$ qua $M_3(3,-4)$
$\Rightarrow  6+12+C=0\Rightarrow  C=-18$
-Phương trình cạnh  $BC$ của tam giác là $2x-3y-18=0$
-Phương trình đường thẳng $M_2M_3 :$
$\frac{x-5}{3-5}=\frac{y-3}{-4-3}  \Leftrightarrow  7x-2y-29=0$
$AB//M_2M_3$ nên phương trình đường thẳng $AB$ có dạng : $7x-2y+C=0$
$AB$ qua $M_1(2,1)\Rightarrow  14-2+C=0\Rightarrow  C=-12$
Phương trình cạnh $AB$ của tam giác là : $7x-2y-12=0$
- Phương trình đường thẳng $M_1M_3 :$
$\frac{x-2}{3-2}=\frac{y-1}{-4-1}  \Leftrightarrow  5x+y-11=0$
Phương trình cạnh $AC//M_1M_3$ nên phương trình cạnh $AC$ có dạng $5x+y+C=0$ đường này qua $M_2(5;3)\Rightarrow  25+3+C=0\Rightarrow  C=-28$
Phương trình cạnh $AC$ của tam giác là $5x-y-28=0$

$(1)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow $$(2)$ có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} > \frac{{6k +
3}}{8}$ hoặc $(2)$ có $2$ nghiệm sao cho ${x_1} \le \frac{{6k + 3}}{8} < {x_2}$

* Trường hợp có nghiệm kép:
•   Ta có:
$\begin{array}{l}
•     \Delta ' = {k^2} - 14k + 13, & \Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   k = 1\\
   k = 13
   \end{array} \right.\\
    +k = 1 \Rightarrow x = 3
 \end{array}$
     + $ k=13\Rightarrow x=-9  (loai) $

* Trường hợp có $2$ nghiệm sao cho ${x_1} \le \frac{{6k + 3}}{8} < {x_2}$ :
$x_{1}\leq \frac{6k+3}{8}<x_{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x1.f(\frac{6k+3}{8})<0     (3)\\\begin{cases}f(\frac{6k+3}{8})=0   (4) \\ \frac{S}{2}>\frac{6k+3}{8}\end{cases}\end{array} \right.$  
$\begin{array}{l}
\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {6k + 3} \right)\left( {22k + 3} \right) < 0 &  \Leftrightarrow 
- \frac{1}{2} < k <  - \frac{3}{{22}}\\
\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
k =  - \frac{1}{2}\\
k =  - \frac{3}{{22}}
\end{array} \right.\\
4 - k > \frac{{6k + 3}}{8}
\end{array} \right.
\end{array}$
Với  +$k=\frac{-1}{2}$ ta có:$4 - k = 4 + \frac{1}{2} > \frac{{6k + 3}}{8} = 0$
        +$k = \frac{3}{{22}}$ ta có : $4 + \frac{3}{{22}} > \frac{{\frac{{18}}{{22}} + 3}}{8}$
        +$k =  - \frac{1}{2}$ hoặc $k =  - \frac{3}{{22}}$ đều là nghiệm của $(4)$

Vậy: $k = 1$ hoặc $ - \frac{1}{2} \le k \le  - \frac{3}{{22}}$ thì phương trình có $1$ nghiệm duy nhất.

Điều kiện:
$(m+1)x^2-2(m-1)x+2m-1>0(*)           \forall x\in R     (1)$
Ta có:
+)$m =  - 1\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 4x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{4}$ không thỏa mãn với mọi $x\in R.$
+)$m\neq 1$
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \begin{cases}m+1>0\\ \triangle '<0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\(m-1)^2-(m+1)(2m-1)<0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\m^2+3m-2>0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\ \left[ \begin{array}{l}m<\frac{-3-\sqrt{17}}{2} \\ \frac{-3+\sqrt{17}}{2}< m\end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Rightarrow  m>\frac{-3+\sqrt{17}}{2} $
Vậy với $m>\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ thì thỏa mãn đề bài.

Xét $3$ trường hợp:.$a)\,x > 2:\,\,\, \Rightarrow x - 1 > 1:$
Ta có : $(1) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 4
\end{array} \right.$               suy ra : $x > 4$
$b$) $1 < x < 2 \Rightarrow 0 < x - 1 < 1:$
$(1) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4$ suy ra ($1$) vô nghiệm
$c$) $x < 1\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,x - 1 < 0:$
khi đó vế trái của ($1$) có nghĩa khi ${x^2} - 6x + 8$ nguyên, hay ,
do đó ${\left( {x - 1}
\right)^{{x^2} - 6x + 8}} > 1\, > 0$ nên $m$ chẵn.
   $m = 2k$, suy ra   ${\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} - 2k = 0$
$x = 3 \pm \sqrt {1 + 2k} ,\,\,\,k \ge  - \frac{1}{2}$
Do $x < 1$ nên $x = 3 + \sqrt {1 + 2k} $ không thỏa mãn
Xét điều kiện $x < 1$$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 3 - \sqrt {1 + 2k}  < 1\\
 \Leftrightarrow \sqrt {1 + 2k}  > 2\\
 \Leftrightarrow 2k > 3\\
 \Leftrightarrow k > \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow k = 2,3,4...\\
\end{array}$
Kết luận nghiệm của bất phương trình là : $x > 4;\,\,\,x = 3 - \sqrt {1 + 2k} $ với $k = 2,3,4...$

Điều kiện : $x > 1,\,\,\,$ta có $\left| {1 - x} \right| = x - 1$
$(1) \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6{\log _3}\left( {x - 1} \right) + \log _3^2\left( {x - 1} \right) + 5 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$
Đặt $t = {\log _3}\left( {x - 1} \right)$ ta có   ${t^2} + 6t + 5 \ge 0$
      $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t \le  - 5\\
t \ge  - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _3}\left( {x - 1} \right) \le  - 5\\
{\log _3}\left( {x - 1} \right) \ge  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 \le x - 1 \le \frac{1}{{{3^5}}}\\
x - 1 \ge \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 < x \le 1 + \frac{1}{{{3^5}}}\\
x \ge \frac{4}{3}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 < x \le \frac{{244}}{{243}}\\
x \ge \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$

$x = 1$  bất phương trình không thỏa mãn.
$x \ne 1$  ta xét các trường hợp sau:
$\begin{array}{l}
a)\,\,\,0 < x < 1:\,(1)\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \,x - a < 0\\
0 < x < 1
\end{array} \right.\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \,x < a\\
0 < x < 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < \arcsin \,a\\
0 < x < 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Nếu$a \le 0:$ bất phương trình vô nghiệm
$0 < a < \sin \,1$ nghiệm của bất phương trình là : $0 < x < arc\sin \,\,a$
$a \ge \sin \,1:$ nghiệm của bất phương trình là :$0 < x < 1$
$b)\,1 < x < \frac{\pi }{2}:$
      ${x^{{\mathop{\rm s}\nolimits} in\,x - a}} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} in\,x - a > 0$
Ta có hệ:$\left\{ \begin{array}{l}
1 < x < \frac{\pi }{2}\\
\sin \,x > a
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 < x < \frac{\pi }{2}\\
x > arc\sin \,a
\end{array} \right.$
Nếu $a \le \arcsin \,1:$ $(1)$ có nghiệm là :$1 < x < \frac{\pi }{2}$
        $arc\sin \,1 < a < 1:$ nghiệm là $arcsin \, < x < \frac{\pi }{2}$
        $a \ge 1$:            $(1)$ vô nghiệm
Kết luận:
$1)$  $a \le 0:$nghiệm là $0 < x < \frac{\pi }{2}$
$2)$ $0 < a \le \arcsin \,1:$$\left[ \begin{array}{l}
0 < x < arc\sin \,\,a\\
0 < x < \pi
\end{array} \right.$
$3)$ $arc\sin \,1 < a < 1:$$\left[ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
arc\sin \, < x < \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$
$4)$ $a \ge 1$$0 < x < 1$