Click  or Click 
!! ~~ Ngại làm ~~!! 

Note : Nghe nhạc : Click

ĐK : $x \geq 2 $
$pt\Leftrightarrow  2(3-x) + \frac{-8(3-x)}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}=0$
$\Leftrightarrow  2(3-x) \left[ { 1- \frac{4}{3\sqrt{x-2}+ \sqrt{x+6}}} \right]=0$
$\Leftrightarrow  ...$ 
Tới đây chắc dễ r :))
Note : Nghe nhạc Click

Xem đáp án : Click 
Nghe nhạc : Click

Tìm điểm rơi  : 
$gt \Leftrightarrow  \frac{7}{xy} + \frac{2}{yz} + \frac{4}{zx} \leq 2$
Giả sử dấu $"="$ xảy ra tại : $x= \alpha  ,y=\beta ,c=\varphi $ 
Áp dụng bđt Cauchy : 
$ \begin{cases} \frac{x}{\alpha  }+ \frac{y}{\beta } +\frac{\alpha \beta }{xy} \geq  3 (1)\\ \frac{y}{ \beta } +\frac{z}{\varphi } + \frac{\beta \varphi  }{yz} \geq  3 (2)\\  \frac{z}{\varphi } + \frac{x}{\alpha }+ \frac{\alpha \varphi  }{zx} \geq  3 (3)\end{cases}$
Ta có : 
$ \frac{7}{\alpha  \beta} . (1) +\frac{2}{ \beta  \varphi  } .(2) + \frac{4}{\varphi  \alpha  } . (3) \geq  3 \left ( \frac{7}{\alpha  \beta } + \frac{2}{\beta  \varphi } + \frac{4}{\varphi \alpha  } \right )$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\alpha ^{2} } \left (  \frac{7}{  \beta }+ \frac{4}{\varphi } \right ).x +\frac{7}{xy}+ \frac{2}{yz}+ \frac{4}{zx} \geq  3\left (  \frac{7}{\alpha \beta }+ \frac{2}{\beta  \varphi }+\frac{4}{\varphi  \alpha } \right )$
$ \Rightarrow    \alpha  ,\beta ,\varphi $ thỏa mãn : 
 $ \begin{cases} \frac{1}{\alpha  ^{2}} \left ( \frac{7}{\beta }+ \frac{4}{\varphi } \right )=1/...\\  \frac{7}{xy}+ \frac{2}{yz} + \frac{4}{zx}  =2\end{cases}$ $\Rightarrow  $ Ta thu được : $ \alpha =3, \beta  = \frac{5}{2}, \varphi  =2$
Tới đây là ok r :))

Note : Nghe nhạc Click

$bđt \Leftrightarrow  (a+b+c)\left[ {\sum (a-b)^{2}} \right] \geq  8. \sum (a-b)$          $(1)$
K hông mất tính tổng quát , giả sử : $c=min(a,b,c)$      
Cố định các hiệu : $a-b,b-c,c-a$ và giảm $a,b,c$ đi cùng 1 lượng $c \Rightarrow  $ các hiệu k đổi còn $a+b+c$ giảm đi
$\Rightarrow  VT (1)    \downarrow , VP(1)$ không đổi
$\rightarrow $ Ta chỉ cần CM bài toán trong TH : $a,b \geq  c=0$ :
  $bđt \Leftrightarrow   a^{3}+b^{3} \geq  4ab(b-a) \rightarrow  (đúng)$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Áp dụng bđt C-S và AM-GM : 
 $VT^{2} \leq  (13+27)(13-13x^{2}+3+3x^{2})=4.10x^{2}(16-10x^{2}) \leq  16x^{2}$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow  x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Lấy $H'$ đối xứng với $H$ qua $BC$
Ta dễ dàng $\rightarrow  H' \in  (O)$
$\rightarrow  H'(3;3)$
Viết ptdtron ngoại tiếp $  \Delta  ABC$ đi qua 3 điểm :$H'(3;3), M(7;3),N(4;2)$ :
  $\begin{cases}6a+6b-c=9 \\ 14a+6b-c=49\\ 8a+4b-c=16 \end{cases}$  $\Leftrightarrow  \begin{cases}a=5\\b=3/2\\ c=30 \end{cases}$
Tới đây dễ r $\rightarrow  $ Tọa độ các điểm $A,B,C \rightarrow  S=...$
( Mà cơ bản bài này dễ )

$gt \Rightarrow  \begin{cases}1=x^{2}-xy+y^{2}\geq  xy\\ 1=(x+y)^{2}-3xy\geq  -3xy\end{cases}$
$\rightarrow  xy \in [\frac{-1}{3};1] $
Mà : $x^{4}+y^{4}=-x^{2}y^{2}+2xy+1$
Khi đó : $A=\frac{-t^{2}+2t+2}{t+2}=f(t)$      $(t=xy; t\in  [\frac{-1}{3};1])$
$ \rightarrow  f'(t)=0 \Leftrightarrow  t=\pm \sqrt{6}-2 $
Do hàm $f(t)$ liên tục tên đoạn $\left[ { \frac{-1}{3};1} \right]$
( Vẽ bbt )
$\rightarrow  \frac{11}{5}=f(\frac{-1}{3}) \leq  f(t) \leq  f(\sqrt{6}-2)=6-2\sqrt{6}$
$\Rightarrow  Min=\frac{11}{5},Max=6-2\sqrt{6}$ 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

.... ( Như của Nam )( Một hướng khác : Đạo hàm )
$P\geq  \frac{(c-1)^{2}}{2(c+1)}+\frac{4c^{3}}{(c+1)^{2}}+\frac{28}{(c+1)^{2}}=f(c)(c>1)$
$\rightarrow  f'(c)=\frac{(3c-5)(3c^{2}+14c+23)}{2(c+1)^{3}}$
$f'(c)=0 \Leftrightarrow  c=5/3$
Vẽ bbt :$ \rightarrow  f(c)  \geq  f'(\frac{5}{3})=\frac{53}{8}$
Vậy :....

Câu 7a :
http://d.violet.vn//uploads/resources/609/3490987/preview.swf

Giải hệ phương trình :$\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+y+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=y^{3} +3x(y^{2}+xy+x-1)+1 \\ \sqrt{2x^{2}-x+y+4} -\sqrt{21x+y-16} +x^{2}-x+y+1 =0\end{cases}$

Bài khai tuần ^^ 

ĐK : $y  \leq  \frac{3}{2}; x \leq  5; (x+y) \geq  0$
$pt(1) \Leftrightarrow  \frac{x+y+1-3x-3y}{\sqrt{x+y+1}+\sqrt{3(x+y)}}+(1-2x-2y)(1+2x+2y)=0$
$\Leftrightarrow  (1-2x-2y)\left[ { \frac{1}{\sqrt{x+y+1}+\sqrt{3(x+y)}}+2x+2y+1} \right]=0$
Mà cái  $[...] >0$
$\rightarrow  2y=1 -2x$
Thế vào pt(2) , ta được : 
 $x^{3}+5x^{2}+6x=(3x+1-2x+1)(\sqrt{3-1+2x}+\sqrt{5-x})$
$\Leftrightarrow  ...$

Cách 3 :
Áp dụng bđt Holder :  
 $ (1+a)(1+b)(1+c)  \geq  (1+ \sqrt[3]{abc})^{3}$
Áp dụng bđt cơ bản : $(x+y+z)^{2}   \geq  3(xy+yz+zx)$ và bđt trên , ta được : 
  $ \left[ { \sum \frac{1}{a(1+b)} } \right  ]^{2} \geq  3\left ( \sum \frac{1}{ab(1+b)(1+c)} \right )=\frac{3(\sum a+ \sum ab)}{abc.\sum (1+b)}= \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc.\sum (1+b)} \geq   \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(1+ \sqrt[3]{abc})^{3}}=\frac{9}{ \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}(1+ \sqrt[3]{abc})^{2}}$
Sau đó khai căn 2 vế của bđt $\rightarrow  (đpcm)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c$

Ta biến đổi : $A=f(t)=\frac{t^{2}}{2} +\frac{5}{t}-\frac{3}{2}$         $(t=x+y+z ; t \in  [-\sqrt{3};3])$      $(*)$
C1 :Đến đoạn này ta xét hàm cho nhanh : 
    Có : $f'(t)=t-\frac{5}{t^{2}} >0 \forall  t \in  [- \sqrt{3};3]$
( or : vẽ bbt )
$\rightarrow $ Hàm số đb trên $[-\sqrt{3};3] \rightarrow  f(t)\leq  f(3) = \frac{14}{3}$  
$\Rightarrow  Max A= \frac{14}{3} \Leftrightarrow  x=y=z=1$
C2 : Hoặc bạn nào chưa học đến đạo hàm có thể tham khảo cách này : 
     $(*)$ $ \rightarrow  Đặt : P= \frac{t^{2}}{2}+ \frac{5}{t} \rightarrow  2P=t^{2}+ \frac{10}{t}$     $(t \in  [-\sqrt{3};3]$
 $\rightarrow  2P- \frac{37}{3}= t^{2}+ \frac{10}{t} -\frac{37}{3}=\frac{(t-3)(3t^{2} +9t  -10)}{3t} \leq  0  $      $(t \in  [-\sqrt{3};3]$
$ \Rightarrow  2P \leq \frac{37}{3}$
$\rightarrow  A=P- \frac{3}{2} \leq    \frac{14}{3}$
Vậy $Max A = \frac{14}{3} \Leftrightarrow  x=y=z=1$