Áp dụng Bđt Bunhiacopxki ta có:

có:$\frac{x}{1+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{1+y^{2}}\geq x-\frac{xy^{2}}{2y}=x-\frac{xy}{2}$.

$A=|x-1|+|2017-x|\geq |x-1+2017-x|=2016$.

Cho $x,y,z>0$ và $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$.Tìm max $P=\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

Cho $x,y,z>0$ và $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$.Tìm max $P=\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

$2A=2x^{2}+4y^{2}+4xy-4x+4016$

Ngày thứ 2 xí nghiệp sản xuất đc là:$300.\frac{2}{3}=200$(sản phẩm)

$A=9.(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100})=9.(1-\frac{1}{100})=\frac{891}{100}$

$E=(\frac{n.(n+1)}{2})^{2}$

Ta có:$\frac{a}{1+b^{2}c}=a-\frac{b^{2}c}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{b\sqrt{c}}{2}$.
Tương tự rồi cộng vế vs vế ta có:
$VT\geq  (a+b+c)-\frac{b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+a\sqrt{b}}{2}=3-\frac{b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+a\sqrt{b}}{2}$.
BĐT cần cm <-->$b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+a\sqrt{b}\leq3$.

Xét $2A=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{10}$
-->$A=2A-A=2^{10}-1=2^{2}.2^{8}-1$<B

a.Xét $\triangle ABC$ có:$AB^{2}+AC^{2}=21^{2}+28^{2}=35^{2}=BC^{2}$
-->$\triangle ABC$ vuông tại $A$(đl Pitago đảo)
b.Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$:
$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{0}$.
$\widehat{BAH}=\widehat{HCA}$(cùng phụ $\widehat{HAC}$).
-->$\triangle ABH\sim \triangle CAH$-->$\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$-->$AH^{2}=BH.CH$.
c.Có $\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{AC}(\triangle ABH\sim \triangle CAH)$
<-->$\frac{AH}{3AN}=\frac{CH}{3CM}$<-->$\frac{AH}{AN}=\frac{CH}{CM}$.
Xét $\triangle HNA$ và $\triangle HMC$
$\widehat{HAN}=\widehat{HCM}$.
$\frac{AH}{AN}=\frac{CH}{CM}$.
-->$\triangle HNA\sim \triangle HMC$-->$\widehat{CMH}=\widehat{ANH}$

Bài 2:
a.Xét $\triangle ABC$:$BE,CF$ là đường cao,$BE$ cắt $CF$ tại $H$-->$H$ là trực tâm-->$AH$ vuông góc $BC$.
b.Xét $\triangle AEB$ và $\triangle AFC$có:
$\widehat{BAC}$ chung
$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^{0}$.
-->$\triangle AEB\sim \triangle AFC$-->$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$-->$AE.AC=AF.AB$
c.Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$có:
$\widehat{BAC}$ chung
$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$.
-->$\triangle AEF\sim \triangle ABC$

Bài 1:

a.Xét $\triangle ADH$ và$\triangle BDA$ có:
$\widehat{DHA}=\widehat{BAD}=90^{0}$.
$\widehat{ADB}$ chung.
-->$\triangle ADH\sim \triangle BDA$-->$\frac{AD}{BD}=\frac{DH}{AD}$-->$AD^{2}=DH.BD$ hay $BC^{2}=DH.DB$.
b.Xét $\triangle ABH$ và$\triangle DBA$ có:
$\widehat{DBA}$ chung
$\widehat{BHA}=\widehat{BAD}=90^{0}$.
-->$\triangle ABH\sim \triangle DBA$-->$\frac{AB}{BD}=\frac{BH}{AB}$
-->$AB^{2}=BH.BD$(*)
Mặt khác:Xét $\triangle ABH$ có:$AR=RH,BS=SH$
-->RS là đường tb-->$RS=\frac{1}{2}AB$.
Thay vào (*) ta có:
$2RS.AB=2SH.BD$-->$SH.BD=RS.DC$.
c.Có RS là đường TB của $\triangle ABH$-->$RS//AB$-->$RS//CD$hay $RS//DT$.
$RS=1/2AB$,mà $AB=CD$-->$RS=1/2CD$
Tứ giác DRST có:$RS//DT$,$RS=DT(=1/2CD)$.
--> $DRST$ là hình bình hành