ĐK: $x\geq 1,y\geq 1,x\geq y$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} a=\sqrt{x+y}\\ b=\sqrt{x-y} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^{2}=x+y\\ b^2=x-y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2+b^2=2x\\ a^2-b^2=2y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{a^2+b^2}{2}\\ y=\frac{a^2-b^2}{2} \end{array} \right.$
Từ ptr $(1)$ của đề bài, ta có: $a+b=2\Rightarrow b=2-a$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{a^2+(2-a)^2}{2}=a^2-2a+2\\ y=\frac{a^2-(2-a)^2}{2}=2a-2 \end{array} \right.$
Thay $x,y$ vào ptr thứ hai của đề bài, ta được ptr: $\sqrt{a^2-2a+2-1}+\sqrt{2a-2-1}=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{2a-3}=2(*)$
Có $x\geq 1,y\geq 1\Rightarrow x+y\geq 2\Rightarrow a^2\geq 2\Rightarrow a\geq \sqrt{2}$ (do $a\geq 0)\Rightarrow a-1\geq \sqrt{2}-1>0$
$(*)\Leftrightarrow a-1+\sqrt{2a-3}=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{2a-3}=3-a$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-a\geq 0\\ 2a-3=(3-a)^2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a\leq 3\\ a^2-8a+12=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow a=2$
Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l} x=2^2-2.2+2=2\\ y=2.2-2=2 \end{array} \right.$
Hptr có nghiệm là $(2;2)$