Ta có phương trình tương đương:$x^2-x+4=\sqrt{x^3-3x+2}+\sqrt{x^3+x^2-4x+6}$Đặt $\sqrt{x^3-3x+2}=a$ và $\sqrt{x^3+x^2-4x+6}=b$Nên, $b^2-a^2=x^2-x+4$.Ta có:$b^2-a^2=a+b$Hay, $(a+b)(b-a-1)=0$Th1: $a+b=0$ thì $a=b=0$, vô lýTh2: $b-a=1$

Ta có phương trình tương đương:$x^2-x+4=\sqrt{x^3-3x+2}+\sqrt{x^3+x^2-4x+6}$Đặt $\sqrt{x^3-3x+2}=a$ và $\sqrt{x^3+x^2-4x+6}=b$Nên, $b^2-a^2=x^2-x+4$.Ta có:$b^2-a^2=a+b$Hay, $(a+b)(b-a-1)=0$Th1: $a+b=0$ thì $a=b=0$, vô lýTh2: $b-a=1$Ta có: $\sqrt{(x+3)(x^2-2x+2)}=\sqrt{(x+2)(x^2-2x+1)}+1$Bình phương lên ta có: $(x+3)(x-1)^2+x+3=(x+2)(x^2-2x+1)+2.(x-1)\sqrt{x+2}+1$Hay, $(x-1)^2+x+2=2.(x-1)\sqrt{x+2}$Tương đương: $(x-1)^2-2.(x-1).\sqrt{x+2}+x+2=0$Tương đương: $[x - 1 - \sqrt{x+2}]^2=0$Nên, $x-1=\sqrt{x+2}$Tương đương: $x^2-2x+1=x+2$Tương đương: $x^2-3x-1=0$Nên, $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$

Ta có phương trình tương đương:$x^2-x+4=\sqrt{x^3-3x+2}+\sqrt{x^3+x^2-4x+6}$Đặt $\sqrt{x^3-3x+2}=a$ và $\sqrt{x^3+x^2-4x+6}=b$Nên, $b^2-a^2=x^2-x+4$.Ta có:$b^2-a^2=a+b$Hay, $(a+b)(b-a-1)=0$Th1: $a+b=0$ thì $a=b=0$, vô lýTh2: $a=b+1$

Ta có phương trình tương đương:$x^2-x+4=\sqrt{x^3-3x+2}+\sqrt{x^3+x^2-4x+6}$Đặt $\sqrt{x^3-3x+2}=a$ và $\sqrt{x^3+x^2-4x+6}=b$Nên, $b^2-a^2=x^2-x+4$.Ta có:$b^2-a^2=a+b$Hay, $(a+b)(b-a-1)=0$Th1: $a+b=0$ thì $a=b=0$, vô lýTh2: $b-a=1$

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $a^2+b^2=2$. Tìm Min,Max $A=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $a,b$là các số thực không âm$a^2+b^2=2$. Tìm Min,Max$A=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $x^2+y^2=2$. Tìm Min,Max$A=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $a^2+b^2=2$. Tìm Min,Max$A=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

Có: $x^2+\frac{4}{y^2}=1$. Nên, $1\geq \frac{4x}{y}$. Tương đương với: $\frac{y}{x}\geq4$Xét $A=\frac{3x}{y}+\frac{4y}{2x}$$A=\frac{3x}{y}+\frac{3y}{8x}+\frac{13y}{8x}$$A\geq 2.\sqrt{\frac{9}{8}}+\frac{13}{8}.4$$A\geq \frac{13+3.\sqrt{2}}{2}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:1.$x^2=\frac{4}{y^2}$. Hay$xy=2$2.$\frac{3x}{y}=\frac{3y}{16x}$. Hay$16x^2=y^2$Từ 2 điều kiện trên, suy ra$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$và$y=2.\sqrt{2}$

Có: $x^2+\frac{4}{y^2}=1$. Nên, $1\geq \frac{4x}{y}$. Tương đương với: $\frac{y}{x}\geq4$Xét $A=\frac{3x}{y}+\frac{4y}{2x}$$A=\frac{3x}{y}+\frac{3y}{16x}+\frac{29y}{16x}$$A\geq 2.\sqrt{\frac{9}{16}}+\frac{29}{16}.4$$A\geq \frac{35}{4}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:1.$x^2=\frac{4}{y^2}$. Hay$xy=2$2.$\frac{3x}{y}=\frac{3y}{16x}$. Hay$16x^2=y^2$Từ 2 điều kiện trên, suy ra$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$và$y=2.\sqrt{2}$

$A=\frac{a^2-a+a+b}{b+c} + \frac{b^2-b+b+c}{c+a} + \frac{c^2-c+c+a}{a+b}$Mà $a+b+c=1$ nên ta có:$A=\frac{a^2-a+a+b}{1-a} + \frac{b^2-b+b+c}{1-b} + \frac{c^2-c+c+a}{1-c}$$A=-a-b-c + \frac{a+b}{1-b} + \frac{b+c}{1-b} + \frac{c+a}{1-c}$Lại có $a+b+c=1$ :$A=-1 + \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} + \frac{c+a}{a+b}$$A=-1+\frac{(a+b)^2}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{(b+c)^2}{c^2+ab+bc+ca}+\frac{(c+a)^2}{a^2+ab+bc+ca}$Áp dụng bđt Bunhia Copxki ta có:$A\geq -1 + \frac{(2a+2b+2c)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}$$A \geq -1 + \frac{4.(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$Mà $3(ab+bc+ca)\leq(a+b+c)^2$ ( Biến đổi tương đương)$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$\Rightarrow A\geq -1 + \frac{4.(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}$$A \geq -1 + 3 = 2$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=1$

$A=\frac{a^2-a+a+b}{b+c} + \frac{b^2-b+b+c}{c+a} + \frac{c^2-c+c+a}{a+b}$Mà $a+b+c=1$ nên ta có:$A=\frac{a^2-a+a+b}{1-a} + \frac{b^2-b+b+c}{1-b} + \frac{c^2-c+c+a}{1-c}$$A=-a-b-c + \frac{a+b}{1-b} + \frac{b+c}{1-b} + \frac{c+a}{1-c}$Lại có $a+b+c=1$ :$A=-1 + \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} + \frac{c+a}{a+b}$$A=-1+\frac{(a+b)^2}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{(b+c)^2}{c^2+ab+bc+ca}+\frac{(c+a)^2}{a^2+ab+bc+ca}$Áp dụng bđt Bunhia Copxki ta có:$A\geq -1 + \frac{(2a+2b+2c)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}$$A \geq -1 + \frac{4.(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$Mà $3(ab+bc+ca)\leq(a+b+c)^2$ ( Biến đổi tương đương)$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$\Rightarrow A\geq -1 + \frac{4.(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}$$A \geq -1 + 3 = 2$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=\frac{1}{3}$

Hàm số 9

Cho (1):$ax^2+bx+c=0$ và (2):$cx^2+bx+a=0$. Biết $A,B$ là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và (2). CM $A+B\geq2$

Hàm số

Phương trình bậc hai

Hàm số 9

Cho (1):$ax^2+bx+c=0$ và (2):$cx^2+bx+a=0$.(a,c<0) Biết $A,B$ là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và (2). CM $A+B\geq2$

Hàm số

Phương trình bậc hai

Dễ thấy: Delta của phương trình (1) và phương trình (2) bằng nhau và đều bằng $b^2-4ac$Vì cả 2 phương trình đều có ít nhất 1 nghiệm nên delta của 2 phương trình $\geq0$Hay, $b^2\geq4ac$$\Leftrightarrow b\geq 2\sqrt{ac}$Công thức nghiệm của phương trình (1) là:$A=\frac{-b\pm delta}{2a}$Công thức nghiệm của phương trình (2) là:$B=\frac{-b\pm delta}{2c}$Ta có: Những phân số có mẫu âm thì phân số lớn nhất khi tử nhỏ nhấtMà $A,B$ là nghiệm lớn nhất của 2 phương trình nên $A=\frac{-b-delta}{2a}$ và $B=\frac{-b-delta}{2c}$Vậy, $A+B=\frac{-b+delta}{2a} + \frac{-b+delta}{2c}$Vì $a,c &gt; 0$, nên ta đặt$a=-d$và$c=-e$$\Rightarrow A+B=(-b-delta)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c})$$\Rightarrow A+B=(b+delta)(\frac{1}{2d}+\frac{1}{2e})$Mà delta$\geq 0$nên:$A+B \geq b.(\frac{1}{2d}+ \frac{1}{2e})$Theo bđt Cô-si với$a+b\geq2\sqrt{ab}$Ta có:$\frac{1}{2d}+\frac{1}{2e}\geq \frac{2}{\sqrt{4de}}=\frac{1}{de}$Nên,$A+B\geq \frac{b}{\sqrt{de}}$Mà$b\geq2\sqrt{ac}$và$ac=de$nên$b\geq2\sqrt{de}$Vậy,$A+B\geq\frac{2\sqrt{de}}{\sqrt{de}}=2$Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow$delta$=0$và$d=e\Leftrightarrowb^2=4ac$và$a=c$

Dễ thấy: Delta của phương trình (1) và phương trình (2) bằng nhau và đều bằng $b^2-4ac$Vì cả 2 phương trình đều có ít nhất 1 nghiệm nên delta của 2 phương trình $\geq0$Hay, $b^2\geq4ac$$\Leftrightarrow b\geq 2\sqrt{ac}$Công thức nghiệm của phương trình (1) là:$A=\frac{-b\pm \sqrt{delta}}{2a}$Công thức nghiệm của phương trình (2) là:$B=\frac{-b\pm \sqrt{delta}}{2c}$Ta có: Những phân số có mẫu âm thì phân số lớn nhất khi tử nhỏ nhấtMà$A,B$là nghiệm lớn nhất của 2 phương trình nên$A=\frac{-b-\sqrt{delta}}{2a}$và$B=\frac{-b-\sqrt{delta}}{2c}$Vậy,$A+B=\frac{-b+\sqrt{delta}}{2a} + \frac{-b+\sqrt{delta}}{2c}$Vì$a,c &lt; 0$, nên ta đặt$a=-d$và$c=-e$$\Rightarrow A+B=(b+\sqrt{delta})(\frac{1}{2d}+\frac{1}{2e})$Mà delta$\geq 0$nên:$A+B \geq b.(\frac{1}{2d}+ \frac{1}{2e})$Theo bđt Cô-si với$a+b\geq2\sqrt{ab}$Ta có:$\frac{1}{2d}+\frac{1}{2e}\geq \frac{2}{\sqrt{4de}}=\frac{1}{de}$Nên,$A+B\geq \frac{b}{\sqrt{de}}$Mà$b\geq2\sqrt{ac}$và$ac=de$nên$b\geq2\sqrt{de}$Vậy,$A+B\geq\frac{2\sqrt{de}}{\sqrt{de}}=2$Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow$delta$=0$và$d=e\Leftrightarrowb^2=4ac$và$a=c$

Bất đẳng thức lớp 9

Bài 1:(Đại trà). Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi là 3. Tìm Min:$A=\frac{a}{c+b-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức lớp 9

Bài 1:(Đại trà). Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi là 3. Tìm Min:$A=\frac{a}{c+b-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c}$(Gợi ý: Sử dụng bất đẳng thức Bunhia cách 1. Độ khó: 4/5)Bài 2:(Nâng cao). Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=3$. Tìm Min:$B=\frac{y^2}{y^2.z+1} + \frac{x^2}{x^2.y-1} + \frac{z^2}{z^2.x+1}+xy+yz+zx+\frac{10}{xy+yz+zx}$(Gợi ý: Sử dụng bất đẳng thức Bunhia để ghép mẫu, sau đó dùng Cô-si để đánh giá mẫu. Độ khó: 3/5)

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10

Cho ba số $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$ Tìm min của biểu thức:$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2+z^2+z^2x^2+1}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10

Cho ba số $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$ Tìm min của biểu thức:$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1 +\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2-1$$\geq 8 - 1 + \frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Mà theo Bunhia-Copxki: $(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$$\Leftrightarrow 9\geq(x+y+z)^2$$\Rightarrow x+y+z\leq3$$$\Rightarrow T\geq 7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Cần chứng minh:$6\leq7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2 $$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq xy+yz+zx+3$$ \Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xy+2yz+2zx) \geq 5(xy+yz+zx)+3 $$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2\leq 5(xy+yz+zx)+3$$ \Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2-5(xy+yz+zx)-3\leq 0$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Vì $xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2=3$Nên $(xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Nên, bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng với $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện đề bài.Vậy, $T\geq6 \Leftrightarrow x=y=z=1$

$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1 +\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2-1$$\geq 8 - 1 + \frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Mà theo Bunhia-Copxki: $(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$$\Leftrightarrow 9\geq(x+y+z)^2$$\Rightarrow x+y+z\leq3$$\Rightarrow T\geq 7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Cần chứng minh:$6\leq7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq xy+yz+zx+3$$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xy+2yz+2zx) \geq 5(xy+yz+zx)+3$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2\leq 5(xy+yz+zx)+3$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2-5(xy+yz+zx)-3\leq 0$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Vì $xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2=3$Nên $(xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Nên, bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng với $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện đề bài.Vậy, $T\geq6 \Leftrightarrow x=y=z=1$

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thõa mãn: $a+b+c=3$ và $0\leq c \leq1$. Tìm Max, Min của $P=a^2+b^2+c^2-2abc$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thõa mãn: $a+b+c=3$ và $0\leq c \leq1$. Tìm Max, Min của $P=a^2+b^2+c^2+abc$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ chứng minh: $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant16$

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ chứng minh: $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant16$

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức lớp 9

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=\frac{a^3}{3a-ab-ca+2bc} + \frac{b^3}{3b-bc-ab+2ac} + \frac{c^3}{3c-ca-bc+2ab} + 3abc$

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức lớp 9

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=\frac{a^3}{3a-ab-ca+2bc} + \frac{b^3}{3b-bc-ab+2ac} + \frac{c^3}{3c-ca-bc+2ab} + 3abc$

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $ x + y + z \leq 3$Chứng minh:$xy + yz + zx \leq x + y +z $

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức lớp 9

Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $ x^2 + y^2 + z^2 = 3$Chứng minh:$xy + yz + zx \leq x + y +z $

Bất đẳng thức