Hình không gian

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $1$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $A'B',BC,DD'$. Chứng minh rằng $AC'$ vuông góc với mặt phẳng $(MNP)$.

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Gọi $M',N',P'$ là trung điểm các cạnh $BB',CD,A'D'$.
Theo tính chất đường trung bình ta có $MM'//A'B//NP'$ nên $MM'$ và $NP'$ đồng phẳng, suy ra $P'M,MM',M'N$ đồng phẳng.
Suy luận tương tự ta được $MM',M'N,NN',N'P,PP',P'M$ cùng thuộc $(MNP)$.
Trên $(A'B'C'D')$ ta có $P'M$ vuông góc với $A'C'$, là hình chiếu của $AC'$, nên $P'M$ vuông góc với $AC'$.
Trên $(ABB'A')$ ta có $MM'$ vuông góc với $AB'$, là hình chiếu của $AC'$, nên $MM'$ vuông góc với $AC'$.
Do đó $AC'$ vuông góc với $(MNP)$.

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Đồng nhất hình vẽ với hệ tọa độ trong không gian sao cho A' là gốc tọa độ, A'B; trùng Ox, A'D' trùng Oy, A'A trùng Oz
Khi đó, A'(0,0,0), M(1/2,0,0), N(1,1/2,1), P(0,1,1/2), A(0,0,1), C'(1,1,0)
Ta có: $\overrightarrow{AC}$= (1,1,-1)
$\overrightarrow{MN}$= (1/2,1/2,1)= (1,1,2)
$\overrightarrow{MP}$= (-1/2,1,1/2)= (-1,2,1)
=> Vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mp(MNP) là: $\left[ {\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}} \right]$= (-3,-3,3)
Ta thấy tọa độ của $\overrightarrow{n}$ tỉ lệ với tọa độ của $\overrightarrow{AC}$ => AC' vuông góc với mp(MNP) -đpcm