giải jum tớ bài này

Question

Tìm các số nguyên

$p,q,n$ với

$p,q$ nguyên tố sao cho:

$p(p+3)+q(q+3)=n(n+3)$

score 1 · Answer 1

Giả sử

$p,q,n$ là các số thỏa mãn bài toán. Dễ thấy

$n^2\equiv p^2+q^2(\text{mod }3)$ .
Nếu

$p,q\neq 3$ thì

$p^2+q^2\equiv 2(\text{mod }3)$ suy ra

$n^2\equiv 2$ vô lý.
Vậy

$p=3$ hoặc

$q=3$ . Giả sử

$p=3$ . Khi đó:

$q(q+3)+18=n(n+3)\Leftrightarrow (n-q)(n+q+3)=18$ .
Ta có

$n+q+3$ là ước của 18 và

$q\geq 2,n>q$ suy ra

$n+q+2\geq 7$ .
Nếu

$n+q+3=9$ thì

$n-q=2$ ta tìm được

$n=4,q=2$ (thỏa mãn).
Nếu

$n+q+3=18$ thì

$n-q=1$ ta tìm được

$n=8,q=7$ (thỏa mãn).
Vậy có 4 bộ số

$(p,q,n)$ thỏa mãn bài toán là

$(3,2,4),(2,3,4),(3,7,8),(7,3,8)$ .

1 Đáp án