|
|
Giả sử $p,q,n$ là các số thỏa mãn bài toán. Dễ thấy $n^2\equiv p^2+q^2(\text{mod }3)$.
Nếu $p,q\neq 3$ thì $p^2+q^2\equiv 2(\text{mod }3)$ suy ra $n^2\equiv 2$ vô lý.
Vậy $p=3$ hoặc $q=3$. Giả sử $p=3$. Khi đó:
$q(q+3)+18=n(n+3)\Leftrightarrow (n-q)(n+q+3)=18$.
Ta có $n+q+3$ là ước của 18 và $q\geq 2,n>q$ suy ra $n+q+2\geq 7$.
Nếu $n+q+3=9$ thì $n-q=2$ ta tìm được $n=4,q=2$ (thỏa mãn).
Nếu $n+q+3=18$ thì $n-q=1$ ta tìm được $n=8,q=7$ (thỏa mãn).
Vậy có 4 bộ số $(p,q,n)$ thỏa mãn bài toán là $(3,2,4),(2,3,4),(3,7,8),(7,3,8)$.
|