|
|
Ta có: $a^5b-ab^5=b(a^5-a)-a(b^5-b)$.
Ta sẽ chứng minh: $x^5-x$ chia hết cho 30 với mọi $x\in\mathbb{Z}$.
Thật vậy:
x^5-x=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)+5(x-1)x(x+1)
Do $x-2,x-1,x,x+1,x+2$ là 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5.
Mà $(2,3,5)=1$ nên $(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)$ chia hết cho $2.3.5=30$
Lại có $x-1,x,x+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3.
Suy ra: $5(x-1)x(x+1)$ chia hết cho 30, đpcm.
|