hàm số

Question

gọi S là tập hợp các số thực lớn hơn -1. tìm tất cả các hàm f: $ S \rightarrow S$ sao cho $f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) $$\forall x, y \in S$ đồng thời hàm $\frac{f(x)}{x}$ tăng thực sự trên các khoảng $-1<x<0 $ và $0<x$

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Cho $x=y=0$ ta có: $f(f(0))=f(0)$.
Ta sẽ chứng minh $f(x)=x\Leftrightarrow x=0$.
Thật vậy:
Giả sử tồn tại $a\in(-1,0)$ sao cho $f(a)=a$.
Thay $x=y=a$ ta có: $f(a^2+2a)=a^2+2a$
Suy ra: $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(a^2+2a)}{a^2+2a}=1$
Mà $a\in(-1,0)\Rightarrow a^2+2a\in(-1,0)$, vô lý.
Suy ra: $f(x)\ne x,\forall x\in(-1,0)$
Tương tự: $f(x)\ne x,\forall x\in(0,+\infty)$.
Mà $f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$.
Cho $x=y$ ta có: $f(x+f(x)+x(f(x))=x+f(x)+xf(x)$
$\Rightarrow x+f(x)+xf(x)=0\Rightarrow f(x)=\frac{-x}{1+x},\forall x\in(-1,+\infty)$, thỏa mãn.