Hình học không gian khó*

Question

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M thuộc SC, (P) chứa AM và song song với BD.
a) CMR: (P) luôn chứa 1 đường thẳng cố định khi M di động trên SC.
b) (P) cắt SB,SD lần lượt tại E,F. I=ME$\cap$CB, J=MF$\cap$ CD. CMR: I,J,A thằng hàng.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn BC=2a, AB=AD=a, $\triangle$SAD đều. (P) qua M thuộc AB và song song với AS,BC. (P) cắt CD,SC,SB tại N,P,Q.
a) CMR: MNPQ là hình thang cân.
b) AM=x (0<x<a). Tính theo a và x diện tích MNPQ.
c) Tìm quỹ tích giao điểm của MQ nới NP.
Xin cảm ơn!!!

score 2 · Answer 1

2a. Dễ thấy $MN//PQ//AD//BC,NP//SD,MQ//SA$ nên $MNPQ$ là hình thang
Ta có $\widehat{MNP}=\widehat{ADS}=\widehat{SAD}=\widehat{QMN}=60^0$ nên $MNPQ$ là hình thang cân.

2b. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại T. Dễ thấy $\Delta MNT$ và $\Delta PQT$ đều.
$S_{MNPQ}=S_{MNT}-S_{PQT}=\frac{\sqrt{3}(MN^2-PQ^2)}{4}$.
Theo Thales:
$MN=\frac{xAD+(a-x)BC}{a}=2a+x,PQ=BC.\frac{SQ}{SB}=BC.\frac{AM}{AB}=2x$.
Từ đó suy ra $S_{MNPQ}=\frac{\sqrt{3}(4a^2+4ax-3x^2)}{4}$.

2c. Trong mặt phẳng qua $BC$ và song song với $AD$, dựng $m$ qua $B$ song song với $SA$, $n$ qua $C$ song song với $SD$. Gọi $R$ là giao điểm của $m$ và $n$.
Giả ử $NP$ cắt $SR$ tại $T'$ thì $\frac{ST'}{SR}=\frac{SP}{SC}=\frac{SQ}{SB}$, suy ra $T'Q//BR//SA$.
Mà $MQ//SA$ nên $T'\in MQ$ hay $T'\equiv T$.
Tóm lại $MQ$ cắt $NP$ trên $SR$ hay quỹ tích của $T$ khi $M$ di động trên $AB$ là đoạn $SR$.

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

1. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, kẻ đường thẳng $d$ qua $A$ và song song với $BD$. Giả sử $d$ cắt $CB$ và $CD$ lần lượt tại $I',J'$.
Vì $I'J'//BD$ nên $(MI'J')//BD$. Vậy $(MI'J')\equiv (P)$ hay $(P)$ luôn đi qua $d$ cố định.
Dễ thấy $I\equiv I'$ và $J\equiv J'$ nên $I,J,A$ thẳng hàng.