tìm

Question

Tìm số tự nhiên

$n$ thỏa mãn

$C_{2n}^0+2C_{2n}^2+3C_{2n}^4+...+(n+1)C_{2n}^{2n}=1024(n+2)$

score 1 · Answer 1

Theo khai triển nhị thức Newton:

$(1+\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^ix^{\frac{i}{2}}}$ .

$(1-\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^i(-1)^ix^{\frac{i}{2}}}$ .
Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta có:

$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}=2\sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i}}$ .
Nhân cả hai vế với

$x$ :

$x\left[ (1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}\right]=2\sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i+1}}$ .
Đạo hàm hai vế:

$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}+n\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2n-1}-n\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2n-1}=2\sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}x^i}$ .
Thay

$x=1$ và đẳng thức trên:

$2^{2n}+n2^{2n-1}=2\sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}}$
Từ giả thiết suy ra:

$2^{2n-2}(n+2)=1024(n+2)$ hay

$n=6$ .

1 Đáp án