Tích phân 7

Question

$ \int\limits_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{dx}{\sin x.\sin(x +\pi/6)}$

$ \int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{4\sin x}{(\cos x + \sin x)^{3}} dx$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 12/8/2012 9:12:38 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a)

$\int\limits_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{dx}{\sin x.\sin(x +\pi/6)}=2\int\limits_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\sin \left ( x +\pi/6-x \right )}{\sin x.\sin(x +\pi/6)}dx$
$=2\int\limits_{\pi/6}^{\pi/3}\left ( \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos \left ( x +\pi/6 \right )}{\sin\left ( x +\pi/6\right )}\right )dx$
$=2\left[ {\ln |\sin x |-\ln |\sin \left ( x +\pi/6\right ) |} \right]_{\pi/6}^{\pi/3}$
Bạn thay kết quả nốt nhé.

Trả lời 08-12-12 09:12 PM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 08-12-12 09:13 PM

score 5 · Answer 2

Đặt $t = \frac{\pi }{2} - x$, ta có:
$I = \int\limits_0^{\pi /2} {\dfrac{{4\sin xdx}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}} = \int\limits_{\pi /2}^0 {\dfrac{{4\cos t\left( { - dt} \right)}}{{{{\left( {\sin t + \cos t} \right)}^3}}} = \int\limits_0^{\pi /2} {\dfrac{{4\cos xdx}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}} } } $

$ \Rightarrow 2I = \int\limits_0^{\pi /2} {\dfrac{{4dx}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\dfrac{{dx}}{{\cos{^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}\\ = 2\tan\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \left| {_0^{\pi /2}} \right. = 2\,.\,2 = 4$

$\Rightarrow I = 2$