Max-min Tọa độ không gian 01

Question

BQT đã nhắc nhở bạn trong những lần trước là không dc up ảnh lên như thế này. Nếu bạn mún đặt câu hỏi thì bạn nên nhập trực tiếp câu hỏi. Yêu cầu bạn lần sau k dc đặt câu hỏi như kiểu này nữa. Nếu còn vi phạm, BQT sẽ có hình thức xử lý

score 4 · Answer 1

b.
Ta có:
$(1+2(-1)-2.1+1)(-1+2.1-2.3+1)=(-2)(-4)=8$
nên $A,B$ nằm cùng phía với $(P)$.
Sự cùng phía hay khác phía của $A,B$ với $(P)$ không ảnh hưởng gì đến bài toán.

score 4 · Answer 2

e.
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y+1;z-1)+2(x+1;y-1;z-3)+3(x-3;y-1;z+1)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}6x-8=0\\6y-4=0\\6z-4=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{2}{3}\end{array}\right.\Leftrightarrow I(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$
Khi đó ta có:
$|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC}|$
$=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})|$
$=|6 \overrightarrow{MI}|=6MI$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC}|$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;-2)$ có phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}+t\\y=\frac{2}{3}+2t\\z=\frac{2}{3}-2t\end{array}\right. (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}+t\\y=\frac{2}{3}+2t\\z=\frac{2}{3}-2t\\x+2y-2z+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-7}{3}\\x=\frac{29}{27}\\y=\frac{4}{27}\\z=\frac{32}{27}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{29}{27};\frac{4}{27};\frac{32}{27})$

score 5 · Answer 3

d.
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y+1;z-1)+(x+1;y-1;z-3)+(x-3;y-1;z+1)+(x-1;y-3;z-1)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4x-4=0\\4y-4=0\\4z-4=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=1\\z=1\end{array}\right.\Leftrightarrow I(1;1;1)$
Khi đó ta có:
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|$
$=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}|$
$=|4 \overrightarrow{MI}|=4MI$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(1;1;1)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;-2)$ có phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=1+2t\\z=1-2t\end{array}\right. (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=1+2t\\z=1-2t\\x+2y-2z+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-2}{9}\\x=\frac{7}{9}\\y=\frac{5}{9}\\z=\frac{13}{9}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{7}{9};\frac{5}{9};\frac{13}{9})$

score 4 · Answer 4

c.
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y+1;z-1)+(x+1;y-1;z-3)+(x-3;y-1;z+1)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x-3=0\\3y-1=0\\3z-3=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=\frac{1}{3}\\z=1\end{array}\right.\Leftrightarrow I(1;\frac{1}{3};1)$
Khi đó ta có:
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$
$=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}|$
$=|3 \overrightarrow{MI}|=3MI$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(1;\frac{1}{3};1)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;-2)$ có phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=\frac{1}{3}+2t\\z=1-2t\end{array}\right. (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=\frac{1}{3}+2t\\z=1-2t\\x+2y-2z+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-2}{27}\\x=\frac{25}{27}\\y=\frac{5}{27}\\z=\frac{31}{27}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{25}{27};\frac{5}{27};\frac{31}{27})$

score 5 · Answer 5

a.
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y+1;z-1)+(x+1;y-1;z-3)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2x=0\\2y=0\\2z-4=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\\z=2\end{array}\right.\Leftrightarrow I(0;0;2)$
Khi đó ta có:
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$
$=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|$
$=|2 \overrightarrow{MI}|=2MI$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(0;0;2)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;-2)$ có phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=2t\\z=2-2t\end{array}\right. (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=2t\\z=2-2t\\x+2y-2z+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{3}\\x=\frac{1}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3})$