giúp em với mọi người, em đang cần rất rất gấp, chân thành cảm ơn

Question

Chứng minh các bài tập sau bằng phương pháp phản chứng:

1. Cho số tự nhiên

$n\geq2$ , chứng minh tồn tại số nguyên tố

$p$ nằm giữa

$n$ và

$n!$ .

2. Chứng minh mọi số tự nhiên có dạng

$4m+1$ đều có ước nguyên tố dạng

$4k+1$ .

3. Chứng minh không có số nguyên tố nào dạng

$4k+3$ mà là tổng của hai số chính phương.

4. Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên

$a$ và

$b$ sao cho

$a^{2}-b^{2}=2014$ .

5. Cho

$\overline{abc}$ là số nguyên tố, chứng minh phương trình

$ax^{2}+bx+c=0$ không có nghiệm nguyên.

6. Cho S là tập hữu hạn điểm thoả tính chất: bất kì tam giác nào có 3 đỉnh thuộc S đều có diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ hơn 4 chứa tấất cả các điểm của S.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 9/8/2013 12:20:27 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

1. Giả sử rằng giữa

$n$ và

$n!-1$ không có số nguyên tố nào.
Gọi

$p_1,p_2,\ldots,p_n$ là các số nguyên tố thỏa mãn

$p_i \le n, 1 \le i \le n.$
Như vậy phải tồn tại một số

$p_k, 1 \le k \le n$ sao cho

$p_k \mid (n!-1)$ .
Mặt khác thì

$p_k \mid n!$ do đó

$p_k \mid 1,$ vô lý.
Vậy ta có đpcm.

Trả lời 08-09-13 12:20 PM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 08-09-13 12:22 PM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 9/8/2013 12:23:37 AM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

2. Em xem lại đề câu này vì số

$77=4.19+1$ chỉ có hai ước nguyên tố là

$7$ và

$11$ nhưng hai ước nguyên tố này đều không có dạng

$4k+1.$

Trả lời 08-09-13 12:23 AM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 08-09-13 12:22 PM

Cho em sửa đề này lại thành 4k-1 – thuynhu123456 08-09-13 07:09 AM

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 9/8/2013 12:12:57 AM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

3. Giả sử tồn tại

$a,b \in \mathbb Z$ sao cho

$a^2+b^2=p=4k+3.$
Ta sẽ chứng minh

$p \mid a, p \mid b$ .
Thật vậy, giả sử

$p \nmid a, p \nmid b$ . Theo định lý Fermat nhỏ

$\begin{cases}a^{p-1} \equiv 1 \bmod p \\ b^{p-1} \equiv 1 \bmod p \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a^{4k+2} \equiv 1 \bmod p \\ b^{4k+2} \equiv 1 \bmod p \end{cases}\Rightarrow a^{4k+2}+b^{4k+2}\equiv 2 \bmod p$ .
Đây là điều không thể vì

$a^2+b^2\equiv 0 \bmod p\Rightarrow a^{4k+2}+b^{4k+2}\equiv 0 \bmod p$ .
Tóm lại

$p \mid a, p \mid b \Rightarrow p^2 \mid a^2, p^2 \mid b^2\Rightarrow p^2 \mid a^2+b^2=p$ , vô lý.
Vậy ta có đpcm.

Trả lời 08-09-13 12:12 AM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 08-09-13 12:22 PM

Định lý Fermat nhỏ thì lớp 9 cũng được làm quen rồi mà em. – Trần Nhật Tân 08-09-13 12:13 PM

anh giải theo toán lớp 10 được không – thuynhu123456 08-09-13 07:11 AM

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 9/8/2013 12:21:48 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

4.

$(a-b)(a+b)=2014=2.19.53$
Mặt khác

$a-b+a+b=2a$ nên

$a-b$ và

$a+b$ có cùng tính chẵn lẻ. Dễ thấy hai số này phải cùng chẵn, do đó tích

$(a-b)(a+b)$ chia hết cho

$4$ , thế nhưng

$4 \nmid 2014$
Đây là điều không thể xảy ra. Ta có đpcm.

lịch sử

Sửa 08-09-13 12:21 PM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Trả lời 07-09-13 11:44 PM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 08-09-13 12:22 PM