1. Chứng minh 2n−1(an+bn)>(a+b)n, với a+b>0, a≠b, n≥2.2. Chứng minh 4n+1n+2>(2n)!(n!)2.
3. Cho x1,x2,...,xn(n≥2) là những số không âm, chứng minh
x1+x2+...+xnn≥n√x1x2...xn
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1=x2=...=xn.
4. Cho hai bộ số a1,a2,...,an và b1,b2,...,bn (n≥2) bất kì. Chứng minh
(a1b1+a2b2+...+anbn)2≤ (a21+a22+...+a2n)(b21+b22+...+b2n)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho b1=ka1, với mọi i=1,...,n
5. Với mọi số nguyên dương n, chứng minh tồn tại đường tròn chứa đúng n điểm nguyên trong mặt phẳng toạ độ.