em đang cần gấp, cảm ơn nhiều

Question

1. Cho hai bộ số $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ và $b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ $(n\geq 2)$ bất kì. Chứng minh

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq$ $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $b_{1}=ka_{1}$, với mọi $i=1,..., n$

2. Với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh tồn tại đường tròn chứa đúng $n$ điểm nguyên trong mặt phẳng toạ độ.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 9/9/2013 11:09:26 PM

1. Ta sẽ chứng minh bài toán trên bằng phuơng pháp quy nạp với $n \ge 2.$
+ Với $n=2$ thì dễ có
$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2)^2 \Leftrightarrow (a_1b_2-a_2b_1)^2 \ge 0$, luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_1b_2=a_2b_1\Leftrightarrow \frac{b_2}{a_2}=\frac{b_1}{a_1}=k\Leftrightarrow b_i=ka_i, i=1,2.$
+ Giả sử BDT trên đúng với $k$ tức là
$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_k^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_kb_k)^2$$
Ta có
$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_k^2+b_{k+1}^2)$
$=(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_k^2)+a_{k+1}^2(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_k^2+b_{k+1}^2)+(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2+a_{k+1}^2)b_{k+1}^2+a_{k+1}^2b_{k+1}^2\quad (1)$
Bây giờ áp dụng BDT $M^2+N^2 \ge 2MN$ ta có
$\left.\begin{matrix} a_{k+1}^2b_1^2+a_1^2b_{k+1}^2 \ge 2a_1b_1a_{k+1}b_{k+1}\\a_{k+1}^2b_2^2+a_2^2b_{k+1}^2 \ge 2a_2b_2a_{k+1}b_{k+1}\\\ldots \\a_{k+1}^2b_n^2+a_n^2b_{k+1}^2 \ge 2a_nb_na_{k+1}b_{k+1} \end{matrix}\right\}\Rightarrow \begin{matrix} a_{k+1}^2(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_k^2+b_{k+1}^2)+(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2+a_{k+1}^2)b_{k+1}^2 \ge \\ 2(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_kb_k)a_{k+1}b_{k+1} \end{matrix} \quad (2)$
Từ (1) , (2) và giả thiết quy nạp ta có
$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_k^2+b_{k+1}^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2$, đpcm.

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks!