chứng minh với mọi số n nguyên dương ta luôn có

Question

$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}..........\frac{2n + 1}{2n + 2}< \frac{1}{\sqrt{3n + 4}}$

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 11/13/2013 10:51:02 AM

Coi

$S_n = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}..........\frac{2n + 1}{2n + 2}< \frac{1}{\sqrt{3n + 4}}$

Tôi chỉ làm bước 3 thôi nhé

Ta có bước 2 là

$S_k = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}..........\frac{2k + 1}{2k + 2}< \frac{1}{\sqrt{3k + 4}} \ (1)$

Cần cm đúng với

$n=k+1$ tức là

$S_{k+1} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}..........\frac{2k + 3}{2k + 4}< \frac{1}{\sqrt{3k + 7}}$

Thật vậy, nhân

$(1)$ với

$\dfrac{2k+3}{2k+4}$ ta có

$S_{k+1} = S_k . \dfrac{2k+3}{2k+4} < \frac{1}{\sqrt{3k + 4}} .\dfrac{2k+3}{2k+4} < \frac{1}{\sqrt{3k + 7}}$

Vậy chỉ cần chứng minh

$\frac{1}{\sqrt{3k + 4}} .\dfrac{2k+3}{2k+4} < \frac{1}{\sqrt{3k + 7}}$ đúng

$\Leftrightarrow (2k+3)\sqrt{3k+7} < (2k+4)\sqrt{3k+4}$

$\Leftrightarrow k+1 >0$ hiển nhiên đúng với

$k \in N^+$

1 Đáp án