a) Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $S$ xuống mp$ABCD$. Kẻ $SK \perp BC$ thì $K$ là trung điểm $BC$ và $\widehat{KSB}=\alpha.$ Từ đây suy ra
$KB = \frac{a}{2}$ và $SK = KB\cot \alpha= \frac{a}{2}\cot \alpha$.
Mặt khác $HK=\frac{a}{2}$ nên
$SH = \sqrt{SK^2-HK^2}=\frac{a}{2}\sqrt{\cot^2 \alpha-1}=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}=\frac{a\sqrt{\cos 2\alpha}}{2\sin\alpha}$.
Vậy
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{\cos 2\alpha}}{2\sin\alpha}.a^2 =\frac{a^3\sqrt{\cos 2\alpha}}{6\sin\alpha}.$