Gợi ý: Trước hết giải PT nghiệm nguyên dương
$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1$. Để giải PT này ta có thể giả sử $a \le b\le c$. Suy ra
$1=\frac1a+\frac1b+\frac1c \le \frac3a \Rightarrow 0<a \le 3 \Rightarrow a \in \{1,2,3\}$.
Thay $a$ vào PT ban đầu và làm tương tự ta được nghiệm là $(a,b,c)=(3,3,3),(2,4,4),(2,3,6)$ và các hoán vị.
Bây giờ thử lại vào điều kiện $\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}$ và tìm $(a,b,c)$ thoả mãn.