Đặt $z=a+bi$ thì $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Ta có
$\omega= (2 - \overline{z} )(i + z) =2i-i\overline z+2z-z.\overline z=2i-i(a-bi)+2(a+bi)-(a^2+b^2)$
Để $\omega$ là số ảo $\Leftrightarrow -b+2a-(a^2+b^2)=0.$
Như vậy ta cần tìm GTLN của $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ với $-b+2a=a^2+b^2,a,b \in \mathbb R.$
Áp dụng BĐT Bunhia ta có
$(2a-b)^2 \le (a^2+b^2)(2^2+1^2)=5(a^2+b^2)$
$\Rightarrow (a^2+b^2)^2 \le 5(a^2+b^2)$
$\Rightarrow a^2+b^2 \le 5\Rightarrow |z| \le \sqrt 5.$
Từ đó $\max |z|=\sqrt 5$ và dễ tìm được $a,b.$