3.Để đơn giản cách viết, đặt $S=a+b+c \Rightarrow S-2a=b+c-a>0, S-2b=c+a-b>0$
$S-2c=a+b-c>0$.Ta có $Q+\frac{29}{2}=(\frac{4a}{S-2a}+2)+(\frac{9b}{S-a}+\frac{9}{2})+(\frac{16c}{S-2c}+8)$
$=\frac{2S}{S-2a}+\frac{9S}{2(S-2b)}+\frac{8S}{S-2c}=\frac{S}{2}(\frac{2^2}{S-2a}+\frac{3^2}{S-2b}+\frac{4^2}{S-2c}) (1)$
Theo Svacxo: $\frac{2^2}{S-2a}+\frac{3^2}{S-2b}+\frac{4^2}{S-2c} \geq \frac{(2+3+4)^2}{(S-2a)+(S-2b)+(S-2c)}=\frac{81}{S} (2)$
Thay
$(1)$ vào $(2)$ có: $Q+\frac{29}{2} \geq \frac{S}{2}.\frac{81}{S}
\Leftrightarrow Q \geq \frac{81-29}{2}=26$ (đpcm)
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\frac{S-2a}{2}=\frac{S-2b}{3}=\frac{S-2c}{4}$
$\begin{cases}\frac{S-2a}{2}=\frac{S-2b}{3}
\\ \frac{S-2a}{2}=\frac{S-2c}{4} \end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}5b+c=5a \\ b+3c=3a\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}2b-c=a \\ b+3c=3a \end{cases} \Leftrightarrow
\frac{a}{7}=\frac{b}{6}=\frac{c}{5}>0$