Trước hết ta chứng mình
$x+\sqrt{x^2+1}\geq 1$ với mọi x
Thậy vậy
Nếu $x\geq 0$ thì luôn đúng
Nếu $x<0$ thì giả sử $x+\sqrt{x^2+1}< 1$
$\sqrt{x^2+1}<1-x$
$x^2+1<1-2x+x^2$
$-2x>0$ điều này vô lý vì $x<0$
vậy $x+\sqrt{x^2+1}\geq 1$ với mọi x, dấu bằng khi x =0
tương tự
$y+\sqrt{y^2+1}\geq 1$ với mọi y, dấu bằng khi y =0
Như vậy theo giả thiết cho thì tương đương với x=y =0
Vậy M = 0