Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm
a) x(x−a)+x(x−b)+(x−a)(x−b)=0
b) (x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)=0
c) x2+(a+b)x−2(a2−ab+b2)=0
d) 3x2−2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0
Giải:
a) x(x−a)+x(x−b)+(x−a)(x−b)=0
⇔3x2−2(a+b)x+ab=0
Δ′=(a+b)2−3ab=a2−ab+b2=(a−b)22+a2+b22≥0
suy ra PT luôn có nghiệm
b) (x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)=0
⇔3x2−2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0
Δ′=(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca
=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)22≥0
Suy ra PT (b) luôn có nghiệm.
c) x2+(a+b)x−2(a2−ab+b2)=0
Δ′=(a+b)2+4.2(a2−ab+b2)=9a2−6ab+9b2=8a2+(a−3b)2≥0
Suy ra PT (c) luôn có nghiệm.
Câu (d) tương tự câu (b)