Can you answer my question ??? Can you vote for my question??? thank you very much!!!

Question

Cho ba số thực a,b,c

$\geq0$ .Chứng minh rằng bất đẳng thức:

$\frac{1}{1+a^{2}}$ +

$\frac{1}{1+b^{2}}$

$\geq$

$\frac{2}{1+ab}$ khi ab=1

score 2 · Answer 1

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \ge \frac{2}{1+ab}$

$(\bigstar)$

$\Leftrightarrow (1+b^2)(1+ab)+(1+a^2)(1+ab) \ge 2(1+a^2)(1+b^2)$

$\Leftrightarrow 1+ab+b^2+ab^3+1+ab+a^2+a^3b \ge 2(1+a^2+b^2+a^2b^2)$

$\Leftrightarrow 2ab +ab(a^2+b^2) \ge a^2+b^2+2a^2b^2$

$\Leftrightarrow 2ab(1-ab)+(a^2+b^2)(ab-1) \ge 0$

$\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \ge 0$

$\color{red}{ \text{[ Ở đây, $ab \ge 1$ thì bất đẳng thức $(\bigstar)$ mới đúng.]}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$ab=1$ hoặc

$a=b.$

bạn ơi vote cho mk vs – Sea Dragon 09-09-15 11:16 PM

1 Đáp án