Tập dồn biến :3~~~~~~~~~~
Đặt $f(x,y,z)=8xyz-\frac{3x^3}{x^2+y^2}$
$\sqrt{xy}=t(t>0)$
Ta có $f(x,y,z)-f(x,t,t)=-3x^3(\frac 1{x^2+y^2}- \frac 1{2t^2}) \ge0$ (do $x^2+y^2 \ge 2t^2$)
$\Rightarrow f(x,y,z) \ge f(x,t,t)$
~~~~~~~~~~
Từ đk ta có $x^2+(y+z)^2=x(y+z)+12yz$
$\Leftrightarrow 12yz=x^2+(y+z)(y+z-x) \ge x^2+2\sqrt {yz}(2\sqrt {yz}-x)$
$\Leftrightarrow x^2-2xt-8t^2 \le0\Leftrightarrow x \le 4t$
~~~~~~~~~~~~
Ta sẽ cm $f(x,t,t) \ge -64$
$\Leftrightarrow 8xt^2-\frac{3x^3}{2t^2} \ge -64$
$\Leftrightarrow 16xt^4-3x^3+128t^2 \ge0$(*)
Mà $x \le 4t$
$\Rightarrow VT$(*)$\ge 16xt^4-48xt^2+32xt=16xt(t^3-3t^2+2)=16xt(t-1)^2(t+2) \ge0$
~~~~~~~~~~~~~~
Vậy ta có $\min P =-64$ đạt đc khi và chỉ khi $x=4,y=z=1$