Chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=3$đưa bdt về chứng minh $\sum \frac{a^2}{b+c} \ge \frac 32$
Ta có $\sum \frac{a^2}{b+c} \ge \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{2(3-a^2)}}$
Đổi biến $(a^2,b^2,c^2)\sim (x,y,z)$
Ta sẽ cm $\frac{x}{\sqrt{2(3-x)}} \ge \frac{5x-1}{8} (\star)$
Thật vậy, nếu $5x-1 <0$ thì $(\star) $ đúng
Nếu $5x-1 \ge 0$
$(\star)\Leftrightarrow 64x^2 \ge (5x-1)^2.2(3-x)$
$\Leftrightarrow (x-1)^2(25x-3) \ge0$ (luôn đúng)
Cmtt $\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{2(3-x)}} \ge \sum \frac{5x-1}{8}=\frac{5(x+y+z)-3}{8}=\frac 32$ (điều phải chứng minh)