Tư duy bất đẳng thức

Question

Với

$a,b,c>0$

Chứng minh

$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{ a+b+c}{2}$
Chứng minh với kết quả mạnh hơn:

$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sqrt{3( a^2+b^2+c^2)}}{2}$

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 1 · 7/11/2016 10:07:40 AM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Ta có:

$\sum\frac{a^2}{b+c}=\sum\frac{a^4}{a^2(b+c)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swart trên ta có:

$\sum\frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2\sqrt{2(b^2+c^2)}+b^2\sqrt{2(a^2+c^2)}+c^2\sqrt{(a^2+b^2)}}$

$(1)$

Xét mẫu số của

$(1)$ ta có :

$MS=\sum a\sqrt{2a^2(b^2+c^2)}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$MS\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(4a^2b^2+4b^2c^2+4a^2c^2)}$

$\Leftrightarrow MS \leq 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}\leq 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}$

$\Leftrightarrow MS\leq \frac{2}{\sqrt{3}}.(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Thế vào

$(1)$ ta có

$\sum\frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{2}{\sqrt{3}}.(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

$a=b=c$

Trả lời 11-07-16 10:07 AM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
-27 1 5

698K 307K

3

ahihihi.... cảm ơn bạn Tùng – ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ 12-07-16 04:06 PM

cách này hay này – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 12-07-16 07:10 AM

vote giúp nhé!!! – ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ 11-07-16 10:07 AM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido · Answer 2 · 7/11/2016 9:52:12 AM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

1) Theo bất đẳng thức Cauchy-Swart ta có:

$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

Áp dụng ta có:

$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$

$\Leftrightarrow \sum\frac{a^2}{b+c}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi

$a=b=c$

lịch sử

Sửa 11-07-16 09:52 AM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
665 1 10

10M 1M

Trả lời 11-07-16 09:42 AM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
-27 1 5

698K 307K

3

vote giúp nhé – ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ 11-07-16 10:08 AM

tran85295 · Answer 3 · 7/11/2016 1:39:39 AM

Chuẩn hóa

$a^2+b^2+c^2=3$

đưa bdt về chứng minh

$\sum \frac{a^2}{b+c} \ge \frac 32$

Ta có

$\sum \frac{a^2}{b+c} \ge \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{2(3-a^2)}}$

Đổi biến

$(a^2,b^2,c^2)\sim (x,y,z)$

Ta sẽ cm

$\frac{x}{\sqrt{2(3-x)}} \ge \frac{5x-1}{8} (\star)$

Thật vậy, nếu

$5x-1 <0$ thì

$(\star)$ đúng

Nếu

$5x-1 \ge 0$

$(\star)\Leftrightarrow 64x^2 \ge (5x-1)^2.2(3-x)$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(25x-3) \ge0$ (luôn đúng)

Cmtt

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{2(3-x)}} \ge \sum \frac{5x-1}{8}=\frac{5(x+y+z)-3}{8}=\frac 32$ (điều phải chứng minh)

tran85295 · Answer 4 · 7/11/2016 10:31:37 AM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

Ta có

$\bullet\;\sum \frac{a^2}{b+c} -\frac{a+b+c}{2}$

$=\sum \Bigg(\frac{a^2}{b+c}-\frac{b+c-4a}{4} \Bigg)= \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)}$

$\bullet\;\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}-\frac{a+b+c}{2}= \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{2\Big[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \Big]}$

$\le \frac{(2a-b-c)^2+(2b-c-a)^2+(2c-a-b)^2}{12(a+b+c) }$

Nên chỉ cần cm

$\sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)} \ge \sum \frac{(2a-b-c)^2}{12(a+b+c) }$

$\Leftrightarrow \sum(2a-b-c)^2\left(\frac{1}{b+c}- \frac{1}{3(a+b+c)} \right) \ge0$

BDT cuối luôn đúng, đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c$

lịch sử

Sửa 11-07-16 10:31 AM

tran85295
135 9

10M 559K

Trả lời 11-07-16 01:22 AM

tran85295
135 9

10M 559K

ừ nhưng cách nà cũng hay mà – ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ 11-07-16 10:22 AM

:D yes ............. – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 11-07-16 10:16 AM

đã bảo rồi mà :)) nhìn ngay đc cách gì thì làm cách ấy – tran85295 11-07-16 10:14 AM

sao ko dùng Bunhia đi bạn – ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ 11-07-16 10:08 AM

:D thánh ảo hehe – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 11-07-16 09:52 AM

cách của bạn thế nào – tran85295 11-07-16 09:15 AM

nhìn thấy cách nào thì làm cách đó thôi – tran85295 11-07-16 09:14 AM

bài này dễ mà tự nhiên làm cho nó khó lên V~ – phuongnam2929 11-07-16 09:07 AM

Hỏi	10-07-16 11:32 PM
Lượt xem	1878
Hoạt động	11-07-16 10:07 AM

Tư duy bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tư duy bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan