1/ Cho 2 tia $Ax, By$ chéo nhau, có $AB$ là đoạn vuông góc chung. Điểm $M$ di động trên tia $Ax$ $(M\neq A)$, $N$ di động trên tia $By (N\neq B)$ sao cho $AM + BN = MN$. Gọi $O$ là trung điểm $AB$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$. a/ CMR: $HM = AM$ và $HN = BN.$
b/ Cm $H$ thuộc 1 đường tròn cố định.
2/ Cho 2 điểm $A, B$ cố định trên mặt phẳng $(P), AB =a$. Trên đường thẳng qua $A$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ lấy điểm $S$ sao cho $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng nằm trong $(P)$ và qua $B$ ($\Delta$ không vuông góc với $AB$). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AB$ cắt $\Delta $ tại $D. H$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta $. Trong mặt phẳng $(SBD)$, đường thẳng qua $D$ vuông góc với $SB$ cắt $SH$, $SB$ lần lượt tại $I, K.$
a/ CMR: $\frac{1}{AI^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AD^{2}}$
b/ Xác định vị trí của đường thẳng $\Delta $ sao cho $S_{AIK}$ là lớn nhất.