Ta có:$(1+abc)(\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)})+3=\Sigma \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}=\Sigma\frac{1+a}{a(1+b)}+\Sigma \frac{b(c+1)}{1+b}$Sử dụng 2 lần BĐT AM-GM ta được:
$\Sigma\frac{1+a}{a(1+b)}+\Sigma\frac{b(c+1)}{1+b}\geq\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3\sqrt[3]{abc}$
Ta phải CM:$\frac{\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3\sqrt[3]{abc}-3}{1+abc}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$(1)
Quy đồng ra điều luôn đúng do(1) là 1 đống nhất thức:D