Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10

Question

Cho ba số

$x,y,z$ không âm thỏa mãn

$x^2+y^2+z^2=3$ Tìm min của biểu thức:

$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}$

laitridung2004 · Answer 1 · 5/12/2019 10:17:26 PM

$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1 +\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2-1$

$\geq 8 - 1 + \frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$

Mà theo Bunhia-Copxki:

$(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$

$\Leftrightarrow 9\geq(x+y+z)^2$

$\Rightarrow x+y+z\leq3$

$\Rightarrow T\geq 7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$

Cần chứng minh:

$6\leq7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$

$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq xy+yz+zx+3$

$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xy+2yz+2zx) \geq 5(xy+yz+zx)+3$

$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2\leq 5(xy+yz+zx)+3$

$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2-5(xy+yz+zx)-3\leq 0$

$\Leftrightarrow (xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$

Vì

$xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2=3$

Nên

$(xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$

Nên, bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng với

$x,y,z$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy,

$T\geq6 \Leftrightarrow x=y=z=1$

1 Đáp án