Bài 100204

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng: $d: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{4}$ và điểm $M(0 ; - 2 ; 0)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ song song với đường thẳng $d$ đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $4$.

score 0 · Answer 1

Giả sử $\overrightarrow n (a;b;c)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng $(P): ax + by + cz + 2b = 0$ (do $(P)$ qua điểm $M$)

Đường thẳng $d$ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (1;1;4)$

Từ giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta //(P)\\
d(A;(P)) = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow n .\overrightarrow u = a + b + 4c = 0\\
\frac{{|a + 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4
\end{array} \right.{\rm{ }}\begin{array}{*{20}{c}}
{(1)}\\
{(2)}
\end{array}$

Thế b = - a - 4c vào (2) ta có ${(a + 5c)^2} = (2{a^2} + 17{c^2} + 8ac) \Leftrightarrow {a^2} - 2ac - 8{c^2} = 0$

$\Leftrightarrow (a-4c)(a+2c)=0
\Leftrightarrow \begin{cases}a=4c \\ a=-2c \end{cases}$

Với $a=4c$ chọn a = 4, c = 1, suy ra b = - 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0.

Với $a= - 2c$ chọn a = 2, c = - 1 suy ra b = 2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.

Bài 100204

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100204

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan