Bài 100953

Question

Trong không gian, cho các điểm

$A, B, C$ theo thứ tự thuộc các tia

$Ox, Oy, Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một sao cho

$OA = a;OB = b;OC = c$ . Gọi

$D$ là đỉnh đối diện với

$O$ của hình chữ nhật

$AOBD$ và

$M$ là trung điểm của đoạn

$BC, (P)$ là mặt phẳng đi qua

$A, M$ và cắt mặt phẳng

$(OCD)$ theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng

$AM$ .

$1$ . Gọi

$E$ là giao điểm của

$(P)$ với đường thẳng

$OC$ . Tính độ dài đoạn

$OE$

$2$ . Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt hình khối chóp

$C.AOBD$ bởi mặt phẳng

$(P)$ .

$3$ . Tính khoảng cách từ điểm

$C$ đến

$(P)$ .

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 11:57:37 AM

$1$ . Chọn

$Oxyz$ làm hệ trục tọa độ trong không gian thì

$A\left( {a,0,0} \right);B\left( {0,a\sqrt 2 ,0} \right);D\left( {a,a\sqrt 2 ,0} \right);C\left( {0,0,c} \right);M\left( {0,\frac{{a\sqrt 2 }}{2},\frac{c}{2}} \right)$
Véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow \alpha \left( {u,v,{\rm{w}}} \right) \ne 0$ của giao tuyến

$(P)$ với

$(OCD)$ phải thỏa mãn:

$\overrightarrow \alpha ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OD}$ đồng phẳng, tức là

$\overrightarrow \alpha = s.\overrightarrow {OC} + t.\overrightarrow {OD} = \left( {ta,ta\sqrt 2 ,sa} \right){\rm{ }}\left( {s,t \in R} \right)$

$\overrightarrow \alpha .\overrightarrow {AM} = 0$ mà

$\overrightarrow {AM} \left( { - a,\frac{{a\sqrt 2 }}{2},\frac{c}{2}} \right) \Rightarrow - t{a^2} + ta\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + s\frac{{ac}}{2} = s\frac{{ac}}{2} = 0$
Vậy

$s = 0$ và ta có thể coi

$\overrightarrow \alpha = \overrightarrow {OD} = \left( {a,a\sqrt 2 ,0} \right)$
Mặt phẳng

$(P)$ qua

$A(a, 0 , 0)$ với

$2$ véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow \alpha$ nên có véc tơ pháp tuyến

$\overrightarrow n \left( {x,y,z} \right) \ne 0$ mà

$\left\{ \begin{array}{l} - {\rm{ax}} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}y + \frac{c}{2}z\\ {\rm{ax}} + a\sqrt 2 y = 0 \end{array} \right. = 0$
Vậy có thể chọn

$\overrightarrow y \left( {c\sqrt 2 , - c,3a\sqrt 2 } \right)$
Từ đó

$(P)$ có phương trình

$c\sqrt 2 \left( {x - a} \right) - cy + 3\sqrt 2 z = 0$

$(P)$ cắt trục

$Oz$ tại

$E(0, 0, z)$ mà

$- ac\sqrt 2 + 3a\sqrt 2 z = 0 \Leftrightarrow E\left( {0,0,\frac{c}{3}} \right);OE = \frac{c}{3}$

$2$ . Vì

$\overrightarrow {OE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC}$ , giao tuyến

$EF$ của

$(P)$ với

$(OCD)$ song song với

$OD$ (

$F$ thuộc

$CD$ ) nên

$\overrightarrow {DF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC}$
Ta có tỉ số thể tích:

$\frac{{{V_{CAEF}}}}{{{V_{CAOD}}}} = \frac{{CE}}{{CO}}.\frac{{CF}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\frac{{{V_{CMEF}}}}{{{V_{CBOD}}}} = \frac{{CM}}{{CB}}.\frac{{CE}}{{CO}}.\frac{{CF}}{{CD}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}$
Vậy

${V_{CAEMF}} = \left( {\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} \right).\frac{1}{2}{V_{CAOBD}} = \frac{1}{3}{V_{CAOBD}}$
Từ đó tỉ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp

$CAOBD$ bởi mặt phẳng

$(P)$ là

$\frac{1}{2}$ ( hay

$2$ )

$3$ . Khoảng cách từ

$C (0, 0, c)$ đến mặt phẳng

$(P)$ là: