Bài 100974

Question

Trong hệ tọa độ trực chuẩn

$Oxy$ , cho elip

$(E): {x^2 \over 9} + {y^2 \over 5} = 1$ .

$a.$ Tìm

$M$ thuộc

$(E)$ để trong

$2$ bán kính nối

$M$ với

$2$ tiêu điểm có

$1$ bán kính gấp

$2$ lần bán kính còn lại .

$b.$ Tìm điểm

$M$ thuộc

$(E)$ sao cho

$M$ nhìn đoạn nối

$2$ tiêu điểm của elip

$(E)$ dưới một góc bằng

$60^0$ .

score 0 · Answer 1

Từ phương trình:

${\textstyle{{{x^2}} \over 9}} + {\textstyle{{{y^2}} \over 5}} = 1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 9\\ {b^2} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ {c^2} = {a^2} - {b^2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ c = 2 \end{array} \right.$

${F_1}\left( { - 2;0} \right),{F_2}\left( {2;0} \right)$
Ta có M(x, y) thuộc (E) nên

${F_1}M = a + {\textstyle{c \over a}}x = 3 + {\textstyle{2 \over 3}}x\,;{F_2}M = a - {\textstyle{c \over a}}x = 3 - {\textstyle{2 \over 3}}x$
a. Yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {F_1}M = 2{F_2}M\\ {F_2}M = 2{F_1}M \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3 + {\textstyle{2 \over 3}}x = 2\left( {3 - {\textstyle{2 \over 3}}x} \right)\\ 3 - {\textstyle{2 \over 3}}x = 2\left( {3 + {\textstyle{2 \over 3}}x} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\textstyle{3 \over 2}}\\ x = - {\textstyle{3 \over 2}} \end{array} \right.$

$\Rightarrow M_1\left( {{\textstyle{3 \over 2}};{\textstyle{{\sqrt {15} } \over 4}}} \right)\,\, \vee \,\,M_2\left( {{\textstyle{3 \over 2}}; - {\textstyle{{\sqrt {15} } \over 4}}} \right)\,\, \vee \,\,M_3\left( { - {\textstyle{3 \over 2}};{\textstyle{{\sqrt {15} } \over 4}}} \right)\;\, \vee \,\,M_4\left( { - {\textstyle{3 \over 2}}; - {\textstyle{{\sqrt {15} } \over 4}}} \right)$

b. Ta có

$\widehat{F_1MF_2}=60^0$ . Xét tam giác

$MF_1F_2$ ta có:

${F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}\cos 60^\circ$

$\Leftrightarrow {F_1}F_2^2 = {\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^2} - 3M{F_1}.MF$

$\Leftrightarrow {\left( {2c} \right)^2} = {\left( {2a} \right)^2} - 3M{F_1}.M{F_2}$

$\Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = {\textstyle{{4{a^2} - 4{c^2}} \over 3}} \Leftrightarrow \left( {3 + {\textstyle{2 \over 3}}x} \right)\left( {3 - {\textstyle{2 \over 3}}x} \right) = {\textstyle{{20} \over 3}} \Leftrightarrow {x^2} = {\textstyle{{21} \over 4}} \Leftrightarrow {y^2} = {\textstyle{{25} \over {12}}}$

$\Leftrightarrow M_1\left( {{\textstyle{{\sqrt {21} } \over 2}};{\textstyle{{5\sqrt 3 } \over 6}}} \right)\,\, \vee \,\,M_2\left( { - {\textstyle{{\sqrt {21} } \over 2}};{\textstyle{{5\sqrt 3 } \over 6}}} \right)\,\,$

$\vee \,\,M_3\left( { - {\textstyle{{\sqrt {21} } \over 2}}; - {\textstyle{{5\sqrt 3 } \over 6}}} \right)\,\, \vee \,\,M_4\left( {{\textstyle{{\sqrt {21} } \over 2}}; - {\textstyle{{5\sqrt 3 } \over 6}}} \right)$

Bài 100974

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100974

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan