Bài 101058

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ trực chuẩn

$Oxyz$ , Cho

$2$ đường thẳng có các phương trình tương ứng là

$\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.; \left( {d'} \right):\left\{ \begin{array}{l} x + 2z - 2 = 0\\ y - 3 = 0 \end{array} \right.$

$1$ . Chứng minh rằng

$(d)$ và

$(d’)$ chéo nhau. Hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của

$(d)$ và

$(d’)$ .

$2$ . Viết phương trình dạng tổng quát của mặt phẳng cách đều

$(d)$ và

$(d’)$ .

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 3:48:09 PM

$1. (d)$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow u \left( {1, - 1,2} \right)$ và

$(d’)$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow {u'} \left( { - 2,0,1} \right)$ . Do đó

$(d)$ và

$(d’)$ không song song với nhau. Mặt khác thế

$x, y, z$ từ phương trình của

$(d)$ vào

$(d’)$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} t = 0\\ t = - 2 \end{array} \right. \left( {VN} \right)$
Do đó

$(d)$ và

$(d’)$ chéo nhau.
Trong phương trình

$(d’)$ cho

$x = 0$ thì

$z = 1$ . Suy ra

$(d’)$ qua điểm

$(0, 3, 1)$ có vecto chỉ phương

$\overrightarrow u \left( { - 2,0,1} \right)$ nên

$(d’)$ có phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} x = - 2t'\\ y = 3\\ z = 1 + t' \end{array} \right.$
Xét

$A\left( {2 + t,1 - t,2t} \right) \in \left( d \right)$ và

$A'\left( { - 2t',3,1 + t'} \right) \in \left( {d'} \right)$ thì

$\overrightarrow {{\rm{AA}}'} = \left( {2 + t + 2t'; - 2 - t;2t - 1 - t'} \right)$ . Đường thẳng

$AA’$ sẽ là đường vuông góc chung của

$(d)$ và

$(d’)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow u = 0$ và

$\overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {u'} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 1/3\\ t' = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow A\left( {\frac{5}{3},\frac{4}{3}, - \frac{2}{3}} \right);A'\left( {2,3,0} \right)$
Đường vuông góc chung qua

$A'\left( {2,3,0} \right)$ và có vecto chỉ phương