Bài 101292

Question

Trong không gian với hệ trục toạ độ

$Oxyz$ cho

$4$ điểm

$A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2)$ và mặt phẳng

$(P)$ có phương trình:

$x + y + z - 2 = 0$ . Gọi

$A’$ là hình chiếu của

$A$ lên mặt phẳng

$Oxy$ . Gọi

$( S)$ là mặt cầu đi qua

$4$ điểm

$A’, B, C, D$ . Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn

$(C)$ là giao của

$(P)$ và

$(S)$ .

score 0 · Answer 1

Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)
Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0,\quad \quad \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)$
Vì

$A',B,C,D \in \left( S \right)$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} 2a - 2b + d + 2 = 0\\ 2a + 6b + 4c + d + 14 = 0\\ 8a + 6b + 4c + d + 29 = 0\\ 8a - 2b + 4c + d - 21 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac{5}{2}\\ b = - 1\\ c = - 1\\ d = - 1 \end{array} \right.$
Vậy mặt cầu ( S) có phương trình:

$x^2+y^2+z^2-5x-2y-2z-1=0$ .
(S) có tâm

$I\left( {\frac{5}{2};1;1} \right)$ , bán kính

$R = \frac{{\sqrt {29} }}{2}$
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P).
(d) có vectơ chỉ phương là:

$\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)$
Suy ra phương trình của d:

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2} + t\\ y = 1 + t\\ z = 1 + t \end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{2} + t;1 + t;1 + t} \right)$
Do

$H = \left( d \right) \cap (P)$ nên: