|
|
$1$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng \(\left( P \right):{\rm{Ax}} + By + Cz + D = 0\)
Vì $(P)$ qua \(M\left( {0,0,1} \right)\,;\,\,N\left( {3,0,0} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
C + D = 0\\
3A + D = 0
\end{array} \right.\)
Lấy $A = 1$ ta được \(D = - 3;\,\,C = - D = 3\)
Vậy \(\left( P \right):x + my + 3z - 3 = 0\,\,,\, m \in \mathbb{R} \)
Để $(P)$ tạo với mặt phẳng $(xOy)$ một góc \(\frac{\pi }{3}\) thì điều kiện cần và đủ là góc của các vectơ pháp tuyến cũng bằng \(\frac{\pi }{3}\), hay: \(c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,\,.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\), với \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1,m,3} \right)\) và
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0,0,1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {1.0 + m.0 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {m^2} + {3^2}} .\sqrt {0 + 0 + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 10} }}\)
Suy ra \(m = \pm \sqrt {26} \)
$2$. Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình đoạn chắn là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) hay có phương trình tổng quát là
\(bcx + acy + abz - abc = 0\)
Ta có d\(\left( {0;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.bc + 0.ca + 0.ab - abc} \right|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }} \Rightarrow \text{d}^2 = \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \)
Suy ra \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}} \ge \frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 3\)
Đáp số: \(\max d = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) xảy ra khi \(a = b = c = 1\).
|
|
|
Đăng bài 02-05-12 11:19 AM
|
|