a/ $\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30 \\
x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35 \end{cases}$
$\Leftrightarrow
\begin{cases}\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=30 \\
\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y-\sqrt{xy}\right) =35 \end {cases}$
Điều
kiện: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=u; \sqrt{xy}=v$ được hệ $\begin{cases} u \geq 0; v \geq
0 \\ uv =30\\ u\left(u^{2}-3v\right)=35 \end{cases}$
Thế
$v=\frac{30}{u}:u\left(u^{2}-3\frac{30}{u}\right)=35 \Leftrightarrow
u^{3}-90=35 \Leftrightarrow u^{3}=125 \Leftrightarrow u=5 \Rightarrow v=6$
$\Rightarrow
\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5\\ \sqrt{x}\sqrt{y}=6 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x}=3\\ \sqrt{y}=2 \end{cases}$ hoặc ngược lại
$\begin{cases} x=9\\y=4 \end{cases}$ hoặc $ \begin{cases}x=4 \\ y= 9\end{cases}$
b/ $\begin{cases}\sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=7 \\ \sqrt{x-2}+\sqrt{y+5}=7
\end{cases}$
Điều kiện: $x \geq 2,
y\geq 2$
Từ hệ đã cho $\Rightarrow
\sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=\sqrt{x-2}+\sqrt{y+5}$
$\Rightarrow x+y+3+2\sqrt{\left(x+5\right) \left(y-2\right)} = x+y+3+2\sqrt{\left(x-2\right) \left(y+5\right) } $
$\Rightarrow \left(x+5\right)\left(y-2\right) =\left(x-2\right)\left(y+5\right) \Rightarrow x=y $
thế vào một trong hai phương trình của hệ đều được
$\sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}=7$
$\Rightarrow x+5+x-2+2\sqrt{\left(x+5\right). \left(x-2\right)}=49$
$\Rightarrow 2\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-2\right)} =46-2x $
$\Rightarrow \sqrt{\left(x+5\right)\left(x-2\right)} =23-x$
$\Rightarrow x^{2}+3x-10=529-46x+x^{2} $
$49x=539 \Rightarrow x=11 \Rightarrow y=11$
c/ $\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=6 \\ x^{2}x+y^{2}y=20 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=6 \\ xy[ \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^{2}-2\sqrt{xy}]=20 \end{cases}$
Điều kiện $x>0, y>0$
Đặt $\sqrt{x}+\sqrt{y}=u; \sqrt{xy}=v$
$\begin{cases}uv=6 (1)\\ v^{2} \left(u^{2}-2v\right)=20(2) \end{cases}$
thế $u=\frac{6}{v}$ từ $(1)$vào $(2)$: $v^{2} \left(\frac{36}{v^{2}}-2v\right) =20$
$36-2v^{2}=20 \Leftrightarrow v^{3}=8 \Leftrightarrow v=2 \Rightarrow u=3$
$ \begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=3 \\ \sqrt{x}\sqrt{y}=2 \end{cases} $
$ \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x}=2 \\ \sqrt{y}=1 \end{cases}$ hay $\begin{cases}x=1 \\ y=4 \end{cases}$
d/ $ \begin{cases}x+y+\sqrt{x+y}=20(1) \\ x^{2}+y^{2}=136 (2) \end{cases} $
Điều kiện: $ x+y>0$
Từ $(1)$, đặt $\sqrt{x+y}=t (t>0)$ được $t^{2}+t=20 \Leftrightarrow t^{2}+t-20=0 \Leftrightarrow t=4$
$\Rightarrow x+y=16$
Thế $y=16-x$ vào $(2)$:
$x^{2}+\left(16-x\right)^{2}=136$
$\Leftrightarrow x^{2}+256-32x+x^{2}=136 $
$\left[ \begin{array}{l}x = 10 \Rightarrow y=6\\x=6 \Rightarrow y=10\end{array} \right.$