Xét n=1:
BĐT trở thành : ab+c+bc+a+ca+b≥32
VT=a2ab+ac+b2bc+ba+c2ca+cb≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)( áp dụng BĐT Bunhiacopxki)
Mà ab+bc+ca≤(a+b+c)23
⇒VT≥32 (dpcm)
Xét n≥2
Xét 3 dãy số:
an√b+c,n√b+c,1,1,...,1⏟n−2số;
bn√c+a,n√c+a,1,1,...,1⏟n−2số;
cn√a+b,n√a+b,1,1,...,1⏟n−2số
Áp dụng BĐT Bunhiacopski(mở rộng):
(an√b+c.n√b+c.1.1..1+bn√c+a.n√c+a.1.1..1+cn√a+b.n√a+b.1.1..1)
≤(anb+c+bnc+a+cna+b)(b+c+c+a+a+b).(1+1+1)+...+(1+1+1)⏟n−2thừasố
⇒(a+b+c)n≤(anb+c+bnc+a+cna+b)2(a+b+c).3n−2
⇒anb+c+bnc+a+cna+b≥32(a+b+c3)n−1
Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c