|
|
a) Đặt $u=x+x^2=x(x+1), v=y+y^2=y(y+1)$ thì hệ (I) trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l} u+v=8\\ uv=12 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u=6\\ v=2 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} u=2\\ v=6 \end{array} \right.$
+ $\left\{ \begin{array}{l} x^2+x=6\\ y^2+y=2 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-3,x=2\\ y=1,y=-2 \end{array} \right.$
+ $\left\{ \begin{array}{l} x^2+x=2\\ y^2+y=6 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1,x=-2\\ y=-3,y=2 \end{array} \right.$
Hệ (I) có nghiệm:
$(x;y)=(-3;1),(-3;-2),(2;1),(2;-2),(1;-3),(1;2),(-2;-3),(-2;2)$.
b) Đặt $u=x^2+x\Leftrightarrow x^2+x-u=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{4u+1}}{2}$
ĐK có nghiệm x: $u\geq -\frac{1}{4}$
Tương tự $v=y^2+y$ có nghiệm với điều kiện $v\geq -\frac{1}{4}$
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}u\geq -\frac{1}{4}, v\geq -\frac{1}{4} \\ u+v=8\\uv=m \end{array} \right.$
tương đương phương trình $t^2-8t+m=0$ có hai nghiệm đều không nhỏ hơn $-\frac{1}{4}$
(theo định lý Viet).
Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta '=16-m\geq 0\\ -\frac{1}{4}\leq 4-\sqrt{16-m} \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{33}{16}\leq m\leq 16$.
|