Bài 106508

Question

Một hình lăng trụ nội tiếp một hình nón thỏa mãn các điều kiện :
- Chiều cao hình trụ bằng bán kính đáy hình nón
- Tỉ số giữa diện tích toàn phần hình trụ và diện tích đáy hình nón bằng

$m$
xác định góc giữa đường sinh và trục hình nón. Tìm giá trị của

$m$ để bài toán giải được

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/13/2012 10:22:43 PM

Gọi

$R$ là bán kính hình nón,

$r$ là bán kính đáy hình trụ,

$x$ là góc giữa trục và đường sinh nón,

$S$ là diện tích toàn phần hình trục,

$S'$ là diện tích toàn phần hình nón. Theo giả thiết:

$m=\frac{S}{S'}=\frac{2\pi r^2+2\pi rR}{\pi rR^2}=\frac{2r(r+R)}{R^2} (1)$
Mặt khác:

$\frac{r}{O_2O_3}=\tan x=\frac{R-r}{R}=1-\frac{r}{R} \Leftrightarrow \frac{r}{R}=1-\tan x$
Thay vào

$(1)$ ta có:

$m=\frac{2r}{R}(\frac{r}{R}+1)=2(1-\tan x)(2-\tan x)$

$\Leftrightarrow \tan^2 x-3\tan x+2-\frac{m}{2}=0$
Đặt

$\tan x=Y$ thì

$Y^2-3Y+2-\frac{m}{2}=0 (2)$
Nghiệm của phương trình

$(2)$ :

$Y=\frac{3\pm \sqrt{1+2m}}{2}$
Do

$\frac{R-r}{R}<1$ và

$3+\sqrt{1+2m}>4$ nên lấy nghiệm

$Y=\frac{3-\sqrt{1+2m}}{2}$

$\Rightarrow \tan x=\frac{3-\sqrt{1+2m}}{2}$
Hơn nữa, do

$\frac{R-r}{R}>0$ nên

$3-\sqrt{1+2m}>0, 9>1+2m \Leftrightarrow m<4$

Bài 106508

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106508

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan